Inclusion et somme de deux sous-espaces [Constructions]

Inclusion et somme de deux sous-espaces

Partie

Question

Soit $E$ un $\mathbf K\textrm{-espace}$ vectoriel et $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ .

Montrer l'équivalence suivante : $F\subset G\Leftrightarrow F+G=G$

Aide simple

Remarquer que $G$ est toujours contenu dans $F+G$ , donc l'équivalence de $(P)$ et $(Q)$ se réduit à l'équivalence entre $(P)$ et la proposition :

$F+G\subset G$

Aide méthodologique

Si $(P)$ est la proposition $"F\subset G"$ et $(Q)$ la proposition $"F+G=G"$ , montrer que $(P)$ entraîne $(Q)$ et que $(Q)$ entraîne $(P)$ .

Solution détaillée

Soit $(P)$ la proposition $"F\subset G"$ et $(Q)$ la proposition $"F+G=G"$ .

Montrons que $(P)$ entraîne $(Q)$ .
Comme il est toujours vrai que $G$ est contenu dans $F+G$ , il suffit de montrer que $F+G$ est contenu dans $G$ .
Soit donc $x$ un élément de $F+G$ : $\exists u\in F$ et $\exists v\in G,~ x=u+v$ .
Comme $F\subset G$ , $u$ appartient à $G$ , donc $u+v$ appartient aussi à $G$ , donc $x$ appartient à $G$ .
Montrons que $(Q)$ entraîne $(P)$ .
Soit $u$ appartenant à $F$ , alors $u=u+0$ appartient à $F+G$ et comme $F+G=G$ , $u$ appartient à $G$ .

Remarque :

autre solution : $F+G$ étant le plus petit sous-espace vectoriel contenant $F$ et $G$ , il ne peut être égal à $G$ que si et seulement si $G$ est le plus petit sous-espace vectoriel contenant $F$ et $G$ , c'est-à-dire que si et seulement si $G$ contient $F$ .