Inclusion et somme de deux sous-espaces
Partie
Question
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel et \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\).
Montrer l'équivalence suivante : \(F\subset G\Leftrightarrow F+G=G\)
Aide simple
Remarquer que \(G\) est toujours contenu dans \(F+G\), donc l'équivalence de \((P)\) et \((Q)\) se réduit à l'équivalence entre \((P)\) et la proposition :
\(F+G\subset G\)
Aide méthodologique
Si \((P)\) est la proposition \("F\subset G"\) et \((Q)\) la proposition \("F+G=G"\), montrer que \((P)\) entraîne \((Q)\) et que \((Q)\) entraîne \((P)\).
Solution détaillée
Soit \((P)\) la proposition \("F\subset G"\) et \((Q)\) la proposition \("F+G=G"\).
Montrons que \((P)\) entraîne \((Q)\).
Comme il est toujours vrai que \(G\) est contenu dans \(F+G\), il suffit de montrer que \(F+G\) est contenu dans \(G\).
Soit donc \(x\) un élément de \(F+G\) : \(\exists u\in F\) et \(\exists v\in G,~ x=u+v\) .
Comme \(F\subset G\), \(u\) appartient à \(G\), donc \(u+v\) appartient aussi à \(G\), donc \(x\) appartient à \(G\).
Montrons que \((Q)\) entraîne \((P)\).
Soit \(u\) appartenant à \(F\), alors \(u=u+0\) appartient à \(F+G\) et comme \(F+G=G\), \(u\) appartient à \(G\).
Remarque :
autre solution : \(F+G\) étant le plus petit sous-espace vectoriel contenant \(F\) et \(G\), il ne peut être égal à \(G\) que si et seulement si \(G\) est le plus petit sous-espace vectoriel contenant \(F\) et \(G\), c'est-à-dire que si et seulement si \(G\) contient \(F\).