Sous-espaces vectoriels de suites
Partie
Question
Soient \(E\) l'espace vectoriel des suites réelles, \(F\), \(G\) et \(H\) les sous-espaces vectoriels de \(E\) suivants :
\(F=\{(u_n)_{n\in\mathbb N}\in E~|~u_{n+2}=-3u_{n+1}-2u_n\}\)
\(G=\{(u_n)_{n\in\mathbb N}\in E~|~u_{n+2}=u_{n+1}+6u_n\}\)
\(H=\{(u_n)_{n\in\mathbb N}\in E~|~u_{n+2}=u_{n+1}-6u_n\}\)
La somme \(F+G\) est-elle directe ?
La somme \(F+H\) est-elle directe ?
Aide simple
Prendre une suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) appartenant à l'intersection, écrire les deux conditions que doivent vérifier les termes de rangs \(n\), \(n+1\) et \(n+2\); on obtient un système à résoudre, qui donne une relation entre les termes de rangs \(n\) et \(n+1\), et conduit à des suites connues.
Aide méthodologique
Pour montrer que la somme est directe ou ne l'est pas, on se sert du théorème :
Une condition nécessaire et suffisante pour que la somme de deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) soit directe est que l'intersection de \(F\) et de \(G\) soit réduite au vecteur nul.
On doit donc considérer l'intersection de deux sous-espaces vectoriels.
Aide à la lecture
Les vecteurs de \(E\) sont ici des suites. Les ensembles \(F\), \(G\) et \(H\) sont des sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel des suites réelles (des démonstrations de ces résultats sont proposées dans les exercices guidés sur les sous-espaces vectoriels).
Solution détaillée
1. Pour se servir du théorème :
Théorème :
Une condition nécessaire et suffisante pour que la somme de deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) soit directe est que l'intersection de \(F\) et de \(G\) soit réduite au vecteur nul .
considérons une suite \(u=(u_n)_{n\in\mathbb N}\) appartenant à \(F\cap G\); les termes de cette suite doivent donc vérifier : pour tout entier \(n\) : \(u_{n+2}=-3u_{n+1}-2u_n\) et \(u_{n+2}=u_{n+1}+6u_n\).
On obtient les systèmes équivalents suivants :
\(\forall n\in\mathbb N\)
\(\left\{~\begin{array}{rcrcrcr}u_{n+2}&+&3u_{n+1}&+&2u_n&=&0\\u_{n+2}&-&u_{n+1}&-&6u_n&=&0\end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcrcll}u_{n+2}&+&3u_{n+1}&+&2u_n&=&0&L_1\leftarrow L_1\\&&4u_{n+1}&+&8u_n&=&0&L_2\leftarrow L_1-L_2\end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcr}u_{n+1}&=&-2u_n\\u_{n+2}&=&4u_n\end{array}\right.\)
On a donc : \((u_n)_{n\in\mathbb N}\in F\cap G~\Leftrightarrow~\forall n\in\mathbb N,~u_{n+1}=-2u_n\).
On remarque alors que les solutions sont des suites géométriques, par exemple la suite de terme général égal à \((-2)^n\) vérifie bien ces conditions et donc appartient à \(F\cap G\).
Donc la somme \(F+G\) n'est pas directe.
2. Considérons maintenant une suite \(u=(u_n)_{n\in\mathbb N}\) appartenant à \(F\cap H\) ; les termes de la suite doivent donc vérifier : pour tout entier \(n\) : \(u_{n+2}=-3u_{n+1}-2u_n\) et \(u_{n+2}=u_{n+1}-6u_n\).
On obtient les systèmes équivalents suivants :
\(\forall n\in\mathbb N\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcr}u_{n+2}&+&3u_{n+1}&+&2u_n&=&0\\u_{n+2}&-&u_{n+1}&+&6u_n&=&0\end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcrcll}u_{n+2}&+&3u_{n+1}&+&2u_n&=&0&L_1\leftarrow L_1\\&&4u_{n+1}&-&4u_n&=&0&L_2\leftarrow L_1-L_2\end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcr}u_{n+1}&=&u_n\\u_{n+2}&=&-5u_n\end{array}\right.\)
La première relation montre que la suite doit être constante, mais la deuxième relation n'est alors possible que si \(u_n=0\) pour tout entier \(n\).
Donc l'intersection de \(F\) et de \(H\) est réduite au vecteur nul de \(E\).
La somme \(F+H\) est directe.