Sous-espaces vectoriels de R^3
Partie
Question
Soient les sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^3\) suivants :
\(F=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3,y=z=0\right\}\)
\(G=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3, x=y\right\}\)
\(H=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3,x+z=y\right\}\)
Montrer que \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces supplémentaires.
Les sous-espaces \(F\) et \(H\) sont-ils supplémentaires ?
Les sous-espaces \(G\) et \(H\) sont-ils supplémentaires ?
Aide détaillée
Pour démontrer le 1., prendre un élément \(u=(x,y,z)\) de \(\mathbb R^3\), et chercher la forme d'un élément \(v\) de \(F\) et d'un élément \(w\) de \(G\), tels que \(u=v+w\).
En déduire des égalités sur les coordonnées de ces trois vecteurs.
Pour démontrer le 2. et le 3., on peut commencer par déterminer l'intersection des deux sous-espaces, et si elle est réduite au vecteur nul, continuer comme dans le 1. .
Aide méthodologique
Pour vérifier que des sous-espaces sont supplémentaires ou ne le sont pas, on peut utiliser une des deux propriétés caractéristiques :
Deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(E\) si et seulement si tout élément de \(E\) s'écrit d'une manière unique comme la somme d'un élément de \(F\) et d'un élément de \(G\).
Deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(E\) si et seulement si \(E=F+G\) et \(F\cap G=\left\{0\right\}.\)
La deuxième propriété est plus adaptée pour les questions 2. et 3., car si on commence, ce qui est le plus facile, par déterminer l'intersection des deux sous-espaces et si celle-ci n'est pas réduite au vecteur nul, cela termine la démonstration.
autre méthodologie : on peut montrer que \(F\cap G=\left\{0\right\}\) et calculer les dimensions de \(F\) et de \(G\) (voir "sous-espaces vectoriels de dimension finie").
Aide à la lecture
Les trois ensembles donnés \(F\), \(G\) et \(H\) sont bien des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^3\). Des démonstrations de ces résultats sont proposées dans les exercices guidés sur les sous-espaces vectoriels.
Solution détaillée
1. On va se servir de la propriété caractéristique suivante :
Propriété :
Deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(E\) si et seulement si tout élément de \(E\) s'écrit d'une manière unique comme la somme d'un élément de \(F\) et d'un élément de \(G\).
Soit \(u=(x,y,z)\in\mathbb R^3\), et cherchons \(v\) appartenant à \(F\) et \(w\) appartenant à \(G\) tels que \(u=v+w\).
\(\begin{array}{lll}v\in F&\Leftrightarrow&\exists x'\in\mathbb R,v=(x',0,0)\\w\in G&\Leftrightarrow&\exists(x'',z'')\in\mathbb R^2,w=(x'',x'',z'')\\u=v+w&\Leftrightarrow&(x,y,z)=(x',0,0)+(x'',x'',z'')\\&\Leftrightarrow&(x,y,z)=(x'+x'',x'',z'')\end{array}\)
or \((x,y,z)=(x'+x'',x'',z'')\Leftrightarrow(z''=z,x''=y,x'=x-y)\).
Ceci prouve, pour tout vecteur \(u=(x,y,z)\) de \(\mathbb R^3\), l'existence de \(v=(x-y,0,0)\) appartenant à \(F\)
et de \(w=(y,y,z)\) appartenant à \(G\) tels que \(u=v+w\), et l'unicité de ce choix.
2. Dans ce cas, puisque le résultat n'est pas donné, il est plus facile de commencer par déterminer l'intersection des deux sous-espaces vectoriels et de se servir de la propriété caractéristique suivante :
Propriété :
Deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(H\) d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(E\) si et seulement si \(E=F+G\) et \(F\cap G=\left\{0\right\}\).
Soit \(u=(x,y,z)\) un élément de \(F\cap H\), donc \(u\) appartient à \(F\) et \(u\) appartient à \(H\), ce qui équivaut à :
\(y=z=0\) et \(x+z=y\), donc \(u=(x,y,z)\in F\cap H\Leftrightarrow(x=y=z=0)\) donc \(F\cap G=\{0\}\).
Cherchons ensuite si \(\mathbb R^3=F+H\).
Soit \(u=(x,y,z)\in\mathbb R^3\), et cherchons \(v\) appartenant à \(F\) et \(w\) appartenant à \(H\) tels que \(u=v+w\).
\(\begin{array}{lll}v\in F&\Leftrightarrow&\exists x'\in\mathbb R, v=(x',0,0)\\w\in H&\Leftrightarrow&\exists(x'',z'')\in\mathbb R^2,w=(x'',x''+z'',z'')\\u=v+w&\Leftrightarrow&(x,y,z)=(x'',0,0)+(x'',x''+z'',z'')\\&\Leftrightarrow&(x,y,z)=(x'+x'',x''+z'',z'')\end{array}\)
or \((x ,y,z)=(x'+x'',x''+z'',z'')\Leftrightarrow(z''=z,x''=y-z,x'=x-y+z)\).
Ceci prouve, pour tout vecteur \(u=(x,y,z)\) de \(\mathbb R^3\), l'existence de \(v=(x-y+z,0,0)\) appartenant à \(F\)
et de \(w=(y-z,y,z)\) appartenant à \(H\) tels que \(u=v+w\), (on remarque ici aussi l'unicité de ce choix).
Remarque :
\(G\) et \(H\) sont tous deux des supplémentaires de \(F\). Ceci est un exemple de la non unicité du supplémentaire d'un sous-espace vectoriel donné.
3. Dans ce cas aussi, on commence par regarder l'intersection de \(G\) et de \(H\).
Soit \(u=(x,y,z)\) un élément de \(G\cap H\), donc \(u\) appartient à \(G\) et \(u\) appartient à \(H\), ce qui équivaut à :
\(x=y\) et \(x+z=y\), donc \(u=(x,y,z)\in G\cap H~~\Leftrightarrow~~(x=y\) et \(z=0)\).
Par exemple l'élément \((1,1,0)\) appartient à \(G\cap H\). Les sous-espaces \(G\) et \(H\) ne sont pas supplémentaires.
Remarque :
On peut aussi constater, au lieu de déterminer \(G\cap H\), que le vecteur \((1,1,0)\), non nul, appartient à \(G\) et à \(H\), cela suffit pour prouver que l'intersection de \(G\) et de \(H\) n'est pas réduite au vecteur nul.