Sous-espaces vectoriels de fonctions polynômes
Partie
Question
Soit E l'espace vectoriel des fonctions polynômes réelles de degré inférieur ou égal à 2, F et G les sous-espaces vectoriels de E suivants :
F=\left\{p\in E,p(1)=0\right\} et G=\{p\in E,~\exists a\in\mathbb R,~~\forall x\in\mathbb R,~p(x)=ax^2+ax+a\}
Montrer que F et G sont supplémentaires.
Aide simple
Montrer d'abord que F\cap G=\{0\}.
Pour cela considérer une fonction polynôme p dans l'intersection de F et de G, écrire que :
\forall x\in\mathbb R,~p(x)=ax^2+bx+c, et traduire par des conditions sur a, b, c le fait que p appartient à F et à G.
De même, pour montrer que E=F+G, chercher des conditions sur les coefficients des polynômes p, q et r, p appartenant à E, q appartenant à F et r appartenant à G pour avoir p=q+r.
Aide méthodologique
On peut se servir ici de la propriété caractéristique :
Deux sous-espaces vectoriels F et G d'un \mathbf K\textrm{-espace} vectoriel E sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E si et seulement si E=F+G et F\cap G=\{0\}.
Aide à la lecture
Les vecteurs de E sont des fonctions polynômes p de degré inférieur ou égal à 2, c'est à dire tels que :
\exists(a,b,c)\in\mathbb R^3,~\forall x\in\mathbb R,~p(x)=ax^2+bx+c
On veut montrer qu'un tel p est la somme de deux fonctions polynômes satisfaisant à des contraintes données.
Solution détaillée
Les sous-espaces F et G sont supplémentaires si et seulement si E=F+G et F\cap G=\left\{0\right\}.
Montrons que F\cap G=\{0\}.
Soit p un élément de F\cap G,
p\in F\cap G\Leftrightarrow(p(1)=0 \textrm{ et }\exists a\in\mathbb R,~\forall x\in\mathbb R,~p(x)=ax^2+ax+a)
donc p(1)=3a=0 et donc p=0.
Pour montrer que E=F+G, considérons un élément p de E :
\exists(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb R^3,~\forall x\in\mathbb R,~p(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma
On veut trouver des éléments q de F et r de G tels que p=q+r donc tels que :
\exists(a,b,c)\in\mathbb R^3,~\forall x\in\mathbb R,~q(x)=ax^2+bx+c, et q(1)=a+b+c=0,
et \exists d\in\mathbb R,~\forall x\in\mathbb R,~r(x)=dx^2+dx+d.
On veut donc \begin{array}{llcl}\forall x\in\mathbb R,&\alpha x^2+\beta x+\gamma&=&ax^2+bx+c+dx^2+dx+d\\&&=&(a+d)x^2+(b+d)x+c+d\end{array}
Il suffit de résoudre le système :
\left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}a&&&&&+&d&=&\alpha\\&&b&&&+&d&=&\beta\\&&&&c&+&d&=&\gamma\\a&+&b&+&c&&&=&0\end{array}\right.
équivalent au système :
\left\{\begin{array}{rcrcrcrccr}a&+&&&&&d&=&\alpha&\\&&b&&&+&d&=&\beta&\\&&&&c&+&d&=&\gamma&\\&&&&&&3d&=&\alpha+\beta+\gamma&L_4\leftarrow L_1+L_2+L_3-L_4\end{array}\right.
équivalent au système :
\left\{\begin{array}{ccccc}d&=&&&\displaystyle{\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}}\\\\c&=&\gamma-d&=&\displaystyle{\frac{-\alpha-\beta+2\gamma}{3}}\\\\b&=&\beta-d&=&\displaystyle{\frac{-\alpha+2\beta-\gamma}{3}}\\\\a&=&\alpha-d&=&\displaystyle{\frac{2\alpha-\beta-\gamma}{3}}\end{array}\right.
Nous avons bien trouvé des réels a, b, c et d en fonction de réels \alpha, \beta, \gamma donnés. Donc nous avons bien trouvé pour tout élément p de E des éléments q de F et r de G satisfaisant à p=q+r :
\forall x\in\mathbb R,~\displaystyle{q(x)=\frac{2\alpha-\beta-\gamma}{3}x^2+\frac{-\alpha+2\beta-\gamma}{3}x+\frac{-\alpha-\beta+2\gamma}{3}} et q(1)=0
\displaystyle{\forall x\in\mathbb R,~r(x)=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}(x^2+x+1)}
et p(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma=q(x)+r(x).