Trouver les valeurs d'un paramètre réel pour lesquelles des vecteurs de R^3 définissent une base de R^3

Partie

Question

Soit \(V_1=(1,0,0)\), \(V_2=(1,a,1)\), \(V_3=(0,0,1)\) des vecteurs de l'espace vectoriel \(\mathbb R^3\), \(a\) étant un nombre réel, trouver toutes les valeurs de \(a\) pour lesquelles \((V_1,V_2,V_3)\) est une base de \(\mathbb R^3\).

Aide méthodologique

Il s'agit de discuter suivant les valeurs d'un paramètre donc, dans une première étape, on recherche pour quelles valeurs de \(a\) la famille est libre ; puis, dans une deuxième étape, on examine, pour les valeurs trouvées, si la famille est génératrice.

Solution détaillée

On étudie tout d'abord l'indépendance linéaire des vecteurs.

Soit\( \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\), trois réels vérifiant : \(\lambda_1V_1+\lambda_2V_2+\lambda_3V_3=0\) alors ils sont solutions du système :

\(\left\{\begin{array}{ccccccc}\lambda_1&+&\lambda_2&&&=&0\\&&a\lambda_2&&&=&0\\&&\lambda_2&+&\lambda_3&=&0\end{array}\right.\), système équivalent à \(\left\{\begin{array}{rrrrrrr}\lambda_1&&&+&\lambda_2&=&0\\&&\lambda_3&+&\lambda_2&=&0\\&&&&a\lambda_2&=&0\end{array}\right.\)

  • 1er cas : \(a=0\) alors par exemple, \(\lambda_2=1\), \(\lambda_3=-1\) et \(\lambda_1=-1\) sont solutions, \(V_2=V_1+V_3\), la famille n'est pas libre, donc \((V_1,V_2,V_3)\) n'est pas une base de \(\mathbb R^3\).

  • 2ème cas : \(a\ne0\) alors \(\lambda_2=0\), \(\lambda_3=0\) et \(\lambda_1=0\) donc \((0,0,0)\) est l'unique solution et la famille est libre.

    On se pose alors la question : est-elle génératrice ?

    Soit \(u=(x,y,z)\) un vecteur quelconque de \(\mathbb R^3\), peut-on trouver des scalaires \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\) vérifiant \(\lambda_1V_1+\lambda_2V_2+\lambda_3V_3=u\) ?

    L'existence des \(\lambda_i\) équivaut à l'existence d'une solution au système :

    \(\left\{\begin{array}{ccccccc}\lambda_1&+&\lambda_2&&&=&x\\&&a\lambda_2&&&=&y\\&&\lambda_2&+&\lambda_3&=&z\end{array}\right.\) système équivalent à \(\left\{\begin{array}{rrrrrrr}\lambda_1&&&+&\lambda_2&=&x\\&&\lambda_3&+&\lambda_2&=&z\\&&&&a\lambda_2&=&y\end{array}\right.\)

    or \(a\ne0\) donc \(\displaystyle{\lambda_2=\frac{y}{a}}\), \(\displaystyle{\lambda_3=-\frac{y}{a}+z}\), \(\displaystyle{\lambda_1=x-\frac{y}{a}}\).

    Dans ce cas \((V_1,V_2,V_3)\) est une base de \(\mathbb R^3\) .

    Donc les valeurs de \(a\) qui conviennent sont tous les réels non nuls.