Trouver les coordonnées d'un vecteur dans une nouvelle base
Partie
Question
Soit \(E\) un \(\mathbb R\)-espace vectoriel possédant une base \(B=(i,j,k)\).
Démontrer que \(B'=(j+k,k+i,i+j)\) est une base de \(E\).
Soit \(u=xi+yj+zk\) (\(x\), \(y\), \(z\) réels) un élément de \(E\), quelles sont les coordonnées de \(u\) dans la base \(B'\) ?
Aide simple
Pour démontrer que \(\{i',j',k'\}\) est une famille génératrice, partir d'un vecteur quelconque \(u=xi+yj+zk\) et trouver des réels \(x'\), \(y'\), \(z'\) vérifiant \(u=x'i'+y'j'+z'k'\).
On sera amené à résoudre un système linéaire.
Aide méthodologique
On note \(i'=j+k\), \(j'=k+i\), \(k'=i+j\).
On démontre d'abord que \((i',j',k')\) est une famille génératrice de \(E\), puis en utilisant un théorème du cours, on pourra conclure.
Solution détaillée
On note \(i'=j+k\), \(j'=k+i\), \(k'=i+j\), on démontre que \(\{i',j',k'\}\) est une famille génératrice de \(E\).
Soit un vecteur quelconque \(u\) de \(E\), \(B\) étant une base de \(E\), \(u\) est une combinaison linéaire des vecteurs \(i\), \(j\), \(k\) donc il existe des réels \(x\), \(y\), \(z\) tels que \(u=xi+yj+zk\quad(1)\).
On cherche des réels \(x'\), \(y'\), \(z'\) vérifiant \(u=x'i'+y'j'+z'k'\quad(2)\).
Alors en remplaçant dans \((2)\) \(i'\), \(j'\) et \(k'\) par leurs valeurs et en utilisant les règles de calcul dans les espaces vectoriels on obtient : \(u=(y'+z')i+(z'+x')j+(x'+y')k\quad(3)\)
La décomposition sur une base est unique, en comparant \((1)\) et \((3)\) on obtient le système :
\(\begin{array}{cl}{\left\{\begin{array}{cccccccc}&&y'&+&z'&=&x&L_1\\x'&&&+&z'&=&y&L_2\\x'&+&y'&&&=&z&L_3\end{array}\right.}&\Leftrightarrow{\left\{\begin{array}{cccccccc}x'&+&y'&&&=&z&L_1\leftarrow L_3\\&&y'&+&z'&=&x&L_2\leftarrow L_1\\x'&&&+&z'&=&y&L_3\leftarrow L_2\end{array}\right.}\\\\&\Leftrightarrow{\left\{\begin{array}{cccccccl}x'&+&y'&&&=&z&L_1\\&&y'&+&z'&=&x&L_2\\&-&y'&+&z'&=&y-z&L_3\leftarrow L_3-L_1\end{array}\right.}\\\\&\Leftrightarrow{\left\{\begin{array}{rcrcrcl}x'&+&y'&&&=&z\\&&y'&+&z'&=&x\\&&&&2z'&=&x+y-z\end{array}\right.}\end{array}\)
qui a pour solution unique
\(\displaystyle{z'=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z,~~y'=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z,~~x'=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z}\)
Ceci démontre que, pour tout vecteur de \(E\), il existe un triplet unique \((x',y',z')\) de \(\mathbb R^3\) tel que \(u=x'i'+y'j'+z'k'\).
Donc, en appliquant le théorème fondamental des bases, \(B'\) est une base de \(E\).
En démontrant que \((i',j',k')\) est une base de \(E\), on a prouvé que si \(u=xi+yj+zk\) alors
\(\displaystyle{u=\left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z\right)i'+\left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z\right)j'+\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z\right)k'}\)
Les coefficients de \(i\)', \(j'\), \(k'\) sont les coordonnées de \(u\) dans la base \((i',j',k')\).