Espace vectoriel de type fini

On note $i'=j+k$, $j'=k+i$, $k'=i+j$, on démontre que $\{i',j',k'\}$ est une famille génératrice de $E$.

Soit un vecteur quelconque $u$ de $E$, $B$ étant une base de $E$, $u$ est une combinaison linéaire des vecteurs $i$, $j$, $k$ donc il existe des réels $x$, $y$, $z$ tels que $u=xi+yj+zk\quad(1)$.

On cherche des réels $x'$, $y'$, $z'$ vérifiant $u=x'i'+y'j'+z'k'\quad(2)$.

Alors en remplaçant dans $(2)$ $i'$, $j'$ et $k'$ par leurs valeurs et en utilisant les règles de calcul dans les espaces vectoriels on obtient : $u=(y'+z')i+(z'+x')j+(x'+y')k\quad(3)$

La décomposition sur une base est unique, en comparant $(1)$ et $(3)$ on obtient le système :

$\begin{array}{cl}{\left\{\begin{array}{cccccccc}&&y'&+&z'&=&x&L_1\\x'&&&+&z'&=&y&L_2\\x'&+&y'&&&=&z&L_3\end{array}\right.}&\Leftrightarrow{\left\{\begin{array}{cccccccc}x'&+&y'&&&=&z&L_1\leftarrow L_3\\&&y'&+&z'&=&x&L_2\leftarrow L_1\\x'&&&+&z'&=&y&L_3\leftarrow L_2\end{array}\right.}\\\\&\Leftrightarrow{\left\{\begin{array}{cccccccl}x'&+&y'&&&=&z&L_1\\&&y'&+&z'&=&x&L_2\\&-&y'&+&z'&=&y-z&L_3\leftarrow L_3-L_1\end{array}\right.}\\\\&\Leftrightarrow{\left\{\begin{array}{rcrcrcl}x'&+&y'&&&=&z\\&&y'&+&z'&=&x\\&&&&2z'&=&x+y-z\end{array}\right.}\end{array}$

qui a pour solution unique

$\displaystyle{z'=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z,~~y'=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z,~~x'=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z}$

Ceci démontre que, pour tout vecteur de $E$, il existe un triplet unique $(x',y',z')$ de $\mathbb R^3$ tel que $u=x'i'+y'j'+z'k'$.

Donc, en appliquant le théorème fondamental des bases, $B'$ est une base de $E$.

En démontrant que $(i',j',k')$ est une base de $E$, on a prouvé que si $u=xi+yj+zk$ alors

$\displaystyle{u=\left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z\right)i'+\left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z\right)j'+\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z\right)k'}$

Les coefficients de $i$', $j'$, $k'$ sont les coordonnées de $u$ dans la base $(i',j',k')$.