Espace vectoriel de type fini

La partie $P$ n'est pas génératrice car par exemple le vecteur $(1,0)$ de $\mathbb C^2$ n'est pas combinaison linéaire de $(1,i)$ c'est-à-dire de la forme $\lambda(1,i)$, $\lambda$ nombre complexe.

Donc $P$ ne détermine pas une base de $\mathbb C^2$.

La partie $Q$ n'est pas libre car $(1,i)=i(-i,1)$.

Donc $Q$ ne détermine pas une base de $\mathbb C^2$.

On se pose la question : $S$ est-elle libre ?

Soient $\lambda$ et $\mu$ des nombres complexes vérifiant : $\lambda(1,1)+\mu(i,-i)=0$ alors $\lambda$ et $\mu$ satisfont au système : $\left\{\begin{array}{ccccc}\lambda&+&i\mu&=&0\\\lambda&-&i\mu&=&0\end{array}\right.$

d'où l'on tire immédiatement $\lambda=0$ puis $\mu=0$. Donc la partie $S$ est libre.

On se pose alors la question : $S$ est-elle génératrice ?

Soit $u=(z,z')$ un vecteur quelconque de $\mathbb C^2$, $u$ est combinaison linéaire d'éléments de $S$ si et seulement si il existe des nombres complexes $\lambda$ et $\mu$ tels que $u=\lambda(1,1)+\mu(i,-i)$.

Cela revient à trouver des solutions au système :

$\left\{\begin{array}{rcrcl}\lambda&+&i\mu&=&z\\\lambda&-&i\mu&=&z'\end{array}\right.\Leftrightarrow~\left\{\begin{array}{rcrcc}\lambda&+&i\mu&=&z\\&-&2i\mu&=&-z+z'\end{array}\right.$

système ayant pour solution : $\displaystyle{\mu=-\frac{i}{2}z+\frac{i}{2}z'~~,~~\lambda=\frac{1}{2}z+\frac{1}{2}z'}$.

Donc la partie $S$ est génératrice.

Conclusion : $S$ détermine une base de $\mathbb C^2$.

La partie $T$ n'est pas libre, en effet $(i,0)=i(1,0)$.

Donc $T$ ne détermine pas une base de $\mathbb C^2$.