A partir d'une base d'un C-espace vectoriel E de type fini, construire une base du R-espace vectoriel E [Espace vectoriel de type fini]

A partir d'une base d'un C-espace vectoriel E de type fini, construire une base du R-espace vectoriel E

Partie

Question

Soit \(E\) un \(\mathbb C\textrm{-espace}\) vectoriel admettant une base \(B=(e_1,\ldots,e_n)\).

On peut munir \(E\) d'une structure de \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel en conservant la loi interne et en prenant, pour la loi externe, les scalaires uniquement dans \(\mathbb R\).

Montrer que \(E\) est un \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel de type fini.

Déterminer, en utilisant \(B\), une base \(B'\) du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\).

Aide méthodologique

Rechercher, en utilisant \(B\), une famille génératrice finie du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) puis vérifier qu'elle est libre.

Aide à la lecture

Bien distinguer les deux structures d'espace vectoriel de \(E\).

Par exemple si \(u\) est un vecteur non nul de \(E\), le vecteur \(v=(1+i)u\) est un vecteur combinaison linéaire de l'unique vecteur \(u\) dans le \(\mathbb C\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) mais combinaison linéaire des deux vecteurs \(u\) et \(iu\) dans le \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\).

De plus, vérifier que les vecteurs \(u\) et \(i u\) sont linéairement dépendants dans le \(\mathbb C\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) mais sont linéairement indépendants dans le \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\).

Solution détaillée

Soit \(u\) un vecteur de \(E\), il se décompose dans la base \(B\),

donc il existe des nombres complexes \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) satisfaisant à l'égalité : \(u=\alpha_1e_1+\cdots+\alpha_ne_n\).

Chaque scalaire \(\alpha_h\) s'écrit \(\alpha_h=\beta_h+\gamma_hi\) avec \(\beta_h\) et \(\gamma_h\) nombres réels

donc on obtient \(u=\beta_1e_1+\cdots+\beta_ne_n+\gamma_1ie_1+\cdots+\gamma_nie_n\) ainsi \(u\) est une combinaison linéaire à coefficients réels des \(2n\) vecteurs \(e_1,\ldots,e_n,ie_1,\ldots,ie_n\).

La famille \(\{e_1,\ldots,e_n,ie_1,\ldots,ie_n\}\) est une famille génératrice finie du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) donc \(E\) est un \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel de type fini.

Vérifions que la famille trouvée est aussi libre dans le \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) :

soient \(2n\) nombres réels \(\delta_1,\ldots,\delta_{2n}\) tels que \(\delta_1e_1+\cdots+\delta_ne_n+\delta_{n+1}ie_1+\cdots+\delta_{2n}ie_n=0\)

alors \((\delta_1+\delta_{n+1}i)e_1+\cdots+(\delta_n+\delta_{2n}i)e_n=0\).

Cette relation est une combinaison linéaire à coefficients complexes de vecteurs linéairement indépendants dans le \(\mathbb C\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) donc tous les coefficients sont nuls, on obtient, pour tout entier \(h\) compris entre \(1\) et \(n\), \(\delta_h+\delta_{n+h}i=0\) d'où \(\delta_h=0\) et \(\delta_{n+h}=0\) d'après l'unicité de l'écriture d'un nombre complexe en partie réelle et partie imaginaire.

La famille étant libre et génératrice, \(B'=(e_1,\ldots,e_n,ie_1,\ldots,ie_n)\) est une base du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\).

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