Construire une base d'un sous-espace vectoriel de R^4
Partie
Question
Construire une base de l'espace vectoriel
\(F : =\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4,x+y-z-t=0\}\)
Aide méthodologique
En caractérisant les éléments de \(F\) à l'aide de leurs composantes on met en évidence une famille génératrice, il reste alors à vérifier qu'elle est aussi libre.
Aide à la lecture
Il est immédiat que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^4\) donc lui-même un espace vectoriel.
On recherche une famille libre et génératrice de vecteurs de \(F\).
Solution détaillée
Le vecteur \(u=(x,y,z,t)\) de \(\mathbb R^4\) est élément de \(F\) si et seulement si \(t=x+y-z\). Donc un élément \(u\) de \(\mathbb R^4\) appartient à \(F\) si et seulement si il existe trois réels \(x\), \(y\), \(z\) tels que \(u=(x,y,z,x+y-z)\)
ce qui équivaut à \(u=x(1,0,0,1)+y(0,1,0,1)+z(0,0,1,-1)\).
On met ainsi en évidence \(3\) vecteurs : \(u_1=(1,0,0,1)\), \(u_2=(0,1,0,1)\) et \(u_3=(0,0,1,-1)\).
Ces trois vecteurs sont des éléments de \(F\) et en constituent une famille génératrice.
Vérifions qu'ils sont linéairement indépendants :
Soit \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) des réels tels que \(\alpha(1,0,0,1)+\beta(0,1,0,1)+\gamma(0,0,1,-1)=0\) alors
\((\alpha,\beta,\gamma,\alpha+\beta-\gamma)=(0,0,0,0)\) d'où \(\alpha=\beta=\gamma=0\).
Ainsi on vient de construire une base de \(F\) : \(((1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,0,1,-1))\).