Orthogonalité

• Il est immédiat que les vecteurs \(v_1=(1,1)\) et \(v_2=(1,-1)\) sont isotropes pour \(q\) et non colinéaires donc \((v_1,v_2)\) est une base de \(\mathbf R^2\) formée de vecteurs isotropes pour \(q\).

• Les vecteurs isotropes pour \(q\) sont les vecteurs \(x=(x_1,x_2)\) tels que \(x_1^2=x_2^2\), ce sont donc les vecteurs de la forme \((x_1,x_1)\) ou \((x_1,-x_1)\), donc l'ensemble des vecteurs isotropes pour \(q\) est l'ensemble des vecteurs qui sont soit colinéaires à \(v_1\) soit colinéaires à \(v_2\).

Soit \(F\) le sous-espace vectoriel engendré par \(u\) et \(v\), où \(u\) et \(v\) sont deux vecteurs non colinéaires et isotropes pour la forme bilinéaire symétrique \(f\).

Soit \(x\) un vecteur de \(F\), il existe donc des scalaires \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(x=\alpha u+\beta v\).

En calculant \(f(x,x)\), on obtient :

\(\begin{array}{rcl}f(x,x)&=&f(\alpha u+\beta v, \alpha u+\beta v)\\ &=&\alpha^2 f(u,u)+\beta^2f(v,v)+2\alpha\beta f(u,v)\end{array}\)

Or \(u\) et \(v\) sont isotropes pour \(f\), donc \(f(\alpha u+\beta v,\alpha u+\beta v)=2\alpha \beta f(u,v).~~~~(*)\)

On suppose qu'il existe dans \(F\) un vecteur \(w\) isotrope non colinéaire à \(u\) et non colinéaire à \(v\) ; donc il existe des scalaires non nuls \(a\) et \(b\) tels que \(w=\alpha u+\beta v\). D'après ce qui précède, on a \(f(w,w)=2abf(u,v)\).

Or \(w\) est isotrope, donc \(abf(u,v)=0\), et comme on a \(ab\neq 0\), on en déduit \(f(u,v)=0\) (les vecteurs \(u\) et \(v\) sont orthogonaux pour \(f\)).

En reprenant l'égalité \((*)\), il vient : , \(\forall x\in F, f(x,x)=0\).

Donc le sous-espace vectoriel engendré par \(u\), \(v\) ne contient que des vecteurs isotropes pour \(f\).

• Remarque : la restriction de la forme bilinéaire symétrique \(f\) au sous-espace vectoriel \(F\) est nulle, donc le sous-espace vectoriel \(F\) est totalement isotrope.