Sous-espace engendré par deux vecteurs isotropes
Partie
Question
On considère le \(\mathbf R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbf R^2\) muni de la forme quadratique \(q\) définie pour tout vecteur \(x=(x_1,x_2)\) de \(\mathbf R^2\) par \(q(x)=x_1^2-x_2^2\).
Montrer qu'il existe dans \(\mathbf R^2\) une base formée de vecteurs isotropes pour \(q\).
Quel est l'ensemble des vecteurs isotropes pour \(q\)?
Soient \(E\) un espace vectoriel sur le corps \(\mathbf K\) ( \(\mathbf K=\mathbf R\) ou \(\mathbf K=\mathbf C\)) et f une forme bilinéaire symétrique sur \(E\).
On suppose qu'il existe dans \(E\) deux vecteurs \(u\) et \(v\) non colinéaires et isotropes pour \(f\). Soit \(F\) le sous-espace vectoriel engendré par \(u\) et \(v\).
Montrer que s'il existe dans \(F\) un vecteur \(w\) isotrope pour \(f\), non colinéaire à \(u\) et non colinéaire à \(v\), alors tous les vecteurs de \(F\) sont isotropes pour \(f\).
Aide simple
2. Remarquer qu'il existe des scalaires non nuls \(a\) et \(b\) tels que \(w=au+bv\) et montrer l'égalité \(f(u,v)=0\)
Aide méthodologique
2. On peut calculer \(f(x,x)\) pour \(x\) appartenant à \(F\), après avoir exprimé \(x\) comme combinaison linéaire de \(u\) et \(v\).
Traduire que \(w\) est dans \(F\), n'est colinéaire ni à \(u\) ni à \(v\) et qu'il est isotrope pour \(f\).
Aide à la lecture
2. Les vecteurs \(u\) et \(v\) forment une famille libre.
Comme \(u\) et \(v\) sont isotropes, tous les vecteurs de la forme \(au\) ou \(av\), \(a\in \mathbf K\), sont isotropes : on suppose qu'il existe dans \(F\) un vecteur \(w\) isotrope autre que ceux-là.
Solution détaillée
Il est immédiat que les vecteurs \(v_1=(1,1)\) et \(v_2=(1,-1)\) sont isotropes pour \(q\) et non colinéaires donc \((v_1,v_2)\) est une base de \(\mathbf R^2\) formée de vecteurs isotropes pour \(q\).
Les vecteurs isotropes pour \(q\) sont les vecteurs \(x=(x_1,x_2)\) tels que \(x_1^2=x_2^2\), ce sont donc les vecteurs de la forme \((x_1,x_1)\) ou \((x_1,-x_1)\), donc l'ensemble des vecteurs isotropes pour \(q\) est l'ensemble des vecteurs qui sont soit colinéaires à \(v_1\) soit colinéaires à \(v_2\).
Soit \(F\) le sous-espace vectoriel engendré par \(u\) et \(v\), où \(u\) et \(v\) sont deux vecteurs non colinéaires et isotropes pour la forme bilinéaire symétrique \(f\).
Soit \(x\) un vecteur de \(F\), il existe donc des scalaires \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(x=\alpha u+\beta v\).
En calculant \(f(x,x)\), on obtient :
\(\begin{array}{rcl}f(x,x)&=&f(\alpha u+\beta v, \alpha u+\beta v)\\ &=&\alpha^2 f(u,u)+\beta^2f(v,v)+2\alpha\beta f(u,v)\end{array}\)
Or \(u\) et \(v\) sont isotropes pour \(f\), donc \(f(\alpha u+\beta v,\alpha u+\beta v)=2\alpha \beta f(u,v).~~~~(*)\)
On suppose qu'il existe dans \(F\) un vecteur \(w\) isotrope non colinéaire à \(u\) et non colinéaire à \(v\) ; donc il existe des scalaires non nuls \(a\) et \(b\) tels que \(w=\alpha u+\beta v\). D'après ce qui précède, on a \(f(w,w)=2abf(u,v)\).
Or \(w\) est isotrope, donc \(abf(u,v)=0\), et comme on a \(ab\neq 0\), on en déduit \(f(u,v)=0\) (les vecteurs \(u\) et \(v\) sont orthogonaux pour \(f\)).
En reprenant l'égalité \((*)\), il vient : , \(\forall x\in F, f(x,x)=0\).
Donc le sous-espace vectoriel engendré par \(u\), \(v\) ne contient que des vecteurs isotropes pour \(f\).
Remarque : la restriction de la forme bilinéaire symétrique \(f\) au sous-espace vectoriel \(F\) est nulle, donc le sous-espace vectoriel \(F\) est totalement isotrope.