Condition pour que l'ensemble des vecteurs isotropes soit un sous-espace vectoriel
Partie
Question
Soient \(E\) un espace vectoriel sur le corps \(\mathbf K\) \((\mathbf K=\mathbf R ~\textrm{ou}~\mathbf K= \mathbf C)\) et \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E.\)
On suppose qu'il existe dans \(E\) un vecteur \(u,\) non nul, isotrope pour \(f\) et un vecteur \(v\) non orthogonal à \(u\) pour \(f.\)
Montrer les propriétés suivantes :
a. si \(v\) est isotrope pour \(f,\) il existe dans \(E\) un vecteur \(w,\) non isotrope pour \(f\) et combinaison linéaire de \(u\) et \(v.\)
b. si \(v\) n'est pas isotrope pour \(f,\) il existe dans \(E\) un vecteur \(w',\) isotrope pour \(f,\) non colinéaire à \(u\) et combinaison linéaire de \(u\) et \(v.\)
On note \(\Im\) l'ensemble des vecteurs de \(E\) isotropes pour \(f\) et \(\mathcal{N}\) le noyau de \(f.\)
En utilisant la partie 1. montrer que cet ensemble \(\Im\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si \(\Im = \mathcal{N} .\)
Aide simple
Calculer \(f(\alpha u + \beta v, \alpha u + \beta v ),\) où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des scalaires.
Remarquer que l'on a toujours \(\mathcal{N}\) contenu dans \(\Im\) et que \(\mathcal{N}\) est un sous-espace vectoriel de \(E,\) puis traduire ce que veut dire \(\Im \ne \mathcal{N} ,\) pour montrer que dans ce cas \(\Im\) n'est pas un sous-espace vectoriel.
Aide méthodologique
2. Lorsque l'on a \(\Im \ne \mathcal{N},\) on peut construire à l'aide de la question 1 une combinaison linéaire de deux vecteurs de \(\Im\) qui ne soit pas de \(\Im.\)
Aide à la lecture
Les vecteurs \(u\) et \(v\) ne sont pas orthogonaux pour \(f\) : \(f(u, v) \ne 0.\)
\(\Im = \{ x \in E \mid f( x, x) = 0 \}.\)
\(\mathcal{N} = \{ x \in E \mid \forall y \in E, f( x, y) = 0\}.\)
Le but de l'exercice est de trouver une condition nécessaire et suffisante pour que l'ensemble des vecteurs isotropes soit un sous-espace vectoriel de \(E.\)
Solution détaillée
1.a On suppose \(v\) isotrope pour \(f.\) On cherche un vecteur \(w\) de \(E\) non isotrope pour \(f\) et de la forme \(w = \alpha u + \beta v,\) où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des scalaires.
On calcule \(f( \alpha u + \beta v, \alpha u + \beta v).\) Il vient :
\(f( \alpha u + \beta v, \alpha u + \beta v) = \alpha^{2} f(u, u) + \beta^{2} f(v, v) + 2 \alpha \beta f(u, v).\)
Comme \(u\) et \(v\) sont isotropes pour \(f,\) on en déduit :
\(f(\alpha u + \beta v, \alpha u + \beta v) = 2 \alpha \beta f (u, v).\)
Or \(u\) et \(v\) ne sont pas orthogonaux pour \(f,\) donc \(f(u, v) \ne 0.\)
Par conséquent aucun vecteur \(w\) de la forme \(w = \alpha u + \beta v,\) avec \(\alpha\) et \(\beta\) non nuls, n'est isotrope pour \(f.\)
Par exemple le vecteur \(w = u + v\) n'est pas isotrope pour \(f.\)
1.b On suppose maintenant \(v\) non isotrope pour \(f\) et on cherche un vecteur \(w'\) de \(E\) isotrope pour \(f,\) de la forme \(w' = \alpha 'u + \beta ' v,\) avec \(\beta '\) non nul.
On calcule \(f(\alpha 'u + \beta ' v, \alpha ' u + \beta ' v).\) Il vient :
\(f(\alpha 'u + \beta ' v, \alpha ' u + \beta ' v) = \alpha '^{2} f(u, u) + \beta '^{2} f(v, v) + 2 \alpha ' \beta ' f(u, v)\)
Comme \(u\) est isotrope pour \(f\) et \(v\) non isotrope pour \(f,\) on en déduit :
\(f(\alpha 'u + \beta ' v, \alpha ' u + \beta ' v) = \beta '^{2} f(v, v) + 2 \alpha ' \beta ' f(u, v).\)
En choisissant, par exemple, \(\beta ' = 1\) et \(\alpha ' = - \frac{f(v, v)}{2f(u, v)}\) (ce qui est possible puisque \(f(u, v) \ne 0),\) on obtient \(f(\alpha 'u + \beta 'v, \alpha 'u + \beta 'v) = 0.\)
Donc le vecteur \(w',\) \(w' = - \frac{f(v, v)}{2f(u, v)}u + v,\) est isotrope pour \(f.\)
2. Si \(\Im \ne \mathcal{N},\) comme \(\mathcal{N}\) est un sous-espace vectoriel de \(E,\) alors \(\Im\) est un sous-espace vectoriel de \(E.\)
Si \(\Im\) n'est pas égal à \(\mathcal{N}\) : \(\Im \ne \mathcal{N}.\)
Tous les éléments de \(\mathcal{N}\) sont isotropes pour \(f,\) donc on a \(\mathcal{N} \subset \Im,\) et comme on a \(\Im \ne \mathcal{N},\) il existe dans \(\Im\) un vecteur \(u\) qui n'appartient pas à \(\mathcal{N}\) :
\(u \in E\) et \(u \notin \mathcal{N}\)
Donc \(u\) est non nul, il est isotrope pour \(f\) et puisqu'il n'appartient pas à \(\mathcal{N},\) il existe un vecteur \(v\) de \(E\) qui n'est pas orthogonal à \(u\) pour \(f.\)
Les conditions de la partie 1. sont vérifiées :
Si \(v\) est isotrope pour \(f,\) donc \(v\) appartient à \(\Im,\) d'après la question 1, le vecteur \(w = u + v\) n'est pas isotrope pour \(f\) :
\(u \in \Im, v \in \Im, u + v \notin \Im.\)
Si \(v\) n'est pas isotrope pour \(f,\) donc \(v\) n'appartient pas à \(\Im,\) d'après la question 1, le vecteur \(w' = - \frac{f(v, v)}{2f(u, v)}u + v\) est isotrope pour \(f.\)
D'où on obtient \(v = w' + \frac{f(v, v)}{2f(u, v)}u,\) avec \(u\) et \(w'\) isotropes et \(v\) non isotrope pour \(f\) :
\(u \in \Im, w' \in \Im, \frac{f(v, v)}{2f(u, v)}u + w' \notin \Im\)
Dans les deux cas, \(v\) isotrope ou \(v\) non isotrope, il est possible de trouver une combinaison linéaire de deux vecteurs de \(\Im\) qui n'est pas dans \(\Im.\)
Ceci prouve que \(\Im\) n'est pas un sous-espace vectoriel de \(E.\)
On a donc montré que la propriété « \(\Im \ne \mathcal{N}\) » entraîne la propriété « \(\Im\) n'est pas un sous-espace vectoriel de \(E\) ».
Par conséquent \(\Im\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si \(\Im\) \(=\) \(\mathcal{N}.\)