Orthogonalité

1. On calcule pour tout \(z\) de \(E\) l'expression \(f(\rho (x + y) - \rho (x) - \rho (y), z) :\)

Comme \(f\) est une forme bilinéaire, il vient :

\(f(\rho(x + y) - \rho(x) - \rho(y), z) = f(\rho(x + y), z) - f(\rho(x), z) - f(\rho(y), z).\)

Or \(f, \rho~\textrm{et}~\psi\) vérifient la propriété \((P)\) : \(\forall(u, v) \in E^2, f(\rho(u), v) = f(u, \psi(v))\); donc :

\(f(\rho(x + y), z) - f(\rho(x), z) - f(\rho(y), z) = f(x+y,\psi(z)) - f(x, \psi(z)) - f(y, \psi(z)) \newline= f(0, \psi(z)) \newline= 0.\)

Par conséquent :

\(\forall z \in E, \forall(x, y) \in E^2, f(\rho(x + y) - \rho(x) - \rho(y), z) = 0.\)

De même, \(\forall z \in E, \forall x \in E, \forall \lambda \in \mathbb R,\) on a, en utilisant la bilinéarité de \(f\) et la propriété \((P)\) :

\(f(\rho(\lambda x) - \lambda \rho(x), z) = f(\rho(\lambda x), z) - \lambda f(\rho(x), z) \newline = f(\lambda x, \psi(z)) - \lambda f(x, \psi(z)) \newline = f(0, \psi(z)) \newline = 0\)

donc :

\(\forall z \in E, \forall x \in E, \forall \lambda \in \mathbb R , f(\rho(\lambda x) - \lambda \rho(x), z) = 0.\)

2.a On a démontré dans la question précédente la propriété suivante : \(\forall z \in E, \forall(x, y) \in E^2, f(\rho(x + y) - \rho(x) - \rho(y), z) = 0.\)

On en déduit : \(\forall(x, y) \in E^2,\) le vecteur \(\rho(x + y) - \rho(x) - \rho(y)\) appartient au noyau de \(f.\)

Or \(f\) est non dégénérée, son noyau est donc réduit au vecteur nul.

Donc \(\rho(x+y) - \rho(x) - \rho(y) = 0,\) c'est à dire \(\forall(x, y) \in E^2, \rho( x + y) = \rho(x) + \rho(y).\)

De même, \(\forall z \in E, \forall \lambda \in \mathbb R, f(\rho(\lambda x) - \lambda \rho(x), z) = 0\) d'où le vecteur \(\rho(\lambda x) - \lambda \rho(x)\) est nul, donc \(\forall x \in E, \forall \lambda \in \mathbb R, \rho(\lambda x) = \lambda \rho(x).\)

Par conséquent l'application \(\rho\) est une application linéaire.

Comme \(f\) est symétrique, les applications \(\rho~\textrm{et}~\psi\) ont le même rôle dans la formule \(\forall(u, v) \in E^2, f(\rho(u), v) = f(u, \psi(v))\): en effet \(f(\psi(v), u) = f(v, \rho(u)).\)

Donc l'application \(\psi\) est aussi une application linéaire.

Remarque : lorsqu'un espace vectoriel \(E\) est muni d'une forme bilinéaire symétrique \(f\) non dégénérée, pour montrer qu'un vecteur de \(E\) est nul il suffit de montrer que ce vecteur appartient au noyau de \(f\), c'est-à-dire qu'il est orthogonal pour \(f\) à tout vecteur de \(E\).

2.b On traduit la propriété \((P)~\forall(u, v) \in E^2, f(\rho(u), v) = f(u, \psi(v)),\) en utilisant les matrices \(Q~\textrm{de}~f, M_{\rho}~\textrm{de}~\rho, M_{\psi}~\textrm{de}~\psi\) et les matrices colonnes \(U\) et \(V\) des coordonnées de \(u\) et \(v\) dans la base \(B : ~^t(M_{\rho}U)QV =~^tUQ(M_{\psi}V).\)

Ceci devient : \(^tU(^tM_{\rho}Q)V =~^tU(QM_{\psi})V.\)

Comme cette égalité est vraie pour tout \(U\) et \(V\), on en déduit \(~^tM_{\rho}Q = QM_{\psi}.\)

Or la forme bilinéaire symétrique \(f\) est non dégénérée, donc la matrice \(Q\) de \(f\) est inversible.

Par conséquent \(~^tM_{\rho} = QM_{\psi}Q^{-1}\): les matrices \(~^tM{\rho}~\textrm{et}~M_{\psi}\) sont semblables.

3. On cherche dans \(E = \mathbb R ^{2},\) une forme bilinéaire symétrique non nulle \(f_1\) et une application \(\theta\) non linéaire de \(E\) dans \(E\) vérifiant la propriété \(\forall(u, v) \in E^2, f_1(\theta(u), v) = f_1(u, v).\)

On remarque que cette propriété est la propriété \((P)\) lorsque l'on choisit \(f = f_1, \rho = \theta~\textrm{et}~\psi = Id_E~\textrm{où}~ Id_E\) est l'application identique de \(E\) dans \(E\).

D'après la question 2., ceci n'est possible que si la forme bilinéaire symétrique \(f_1\) est dégénérée.

Les formes bilinéaires symétriques dégénérées les plus simples sur \(E = \mathbb R ^2\) sont celles qui ont pour matrice \(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)~\textrm{ou}~\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right).\)

Si l'on choisit, par exemple, \(f_1\)définie pour tout \(x = (x_1, x_2)\) et tout \(y = (y_1, y_2)~\textrm{de}~\mathbb R ^2~\textrm{par}~f_1(x, y) = x_1y_1,\) l'application \(\theta\) définie pour tout \(x = (x_1, x_2)~\textrm{de}~\mathbb R ^2~\textrm{par}~\theta(x) = (x_1, 1)\) n'est pas linéaire et vérifie pourtant la propriété « pour tout \(x = (x_1, x_2)\) et tout \(y=(y_1, y_2)~\textrm{de}~\mathbb R ^2, f_1(\theta(x), y) = f_1(x, y)\) ».