Espaces Rn

On considère que \(\mathbf{R^n}\) est un sous-espace de lui-même. L'ensemble réduit à \({0}\) est aussi un sous-espace vectoriel de \(\mathbf{R^n}\) . On va chercher quels sont les sous-espaces possibles dans \(\mathbf{R^n}\) .

Dans \(\mathbf{R^3}\) , il y en a quatre sortes : \({0}\), les droites et les plans vectoriels, l'espace entier.

Dans \(\mathbf{R^3}\) , l'ensemble des vecteurs qui vérifient une équation linéaire homogène \(u x + v y + w z = 0\) forme un plan vectoriel \(P\).

Généralisation dans \(\mathbf{R^n}\) :

les éléments \(V = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})\) qui vérifient une équation homogène linéaire :

\(a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \ldots + a_{n} x_{n} = 0 ~~(H)\)

forment un sous-espace vectoriel appelé hyperplan \(H\) de \(\mathbf{R^n}\).