Espaces Rn

Dans \(\mathbf{R^3}\), l'ensemble des vecteurs qui vérifient un système d'équations linéaires homogènes, (non proportionnelles) :

\(\left\{ \begin{array}{lll} u_{1} x + v_{1} y + w_{1} z &=&0\\ u_{2} x + v_{2} y + w_{2} z&=&0 \end{array}\right.\)

est l'intersection de deux plans vectoriels \(P_{1} ~et~ P_{2}, ~et~ P_{1} \cap P_{2}\) est une droite vectorielle.

Généralisation dans \(\mathbf{R^n}\), : les éléments \(V = (x_{1}, x_{2,} x_{3}, \ldots x_{n})\) qui vérifient un système de \(p\) équations homogènes linéaires :

\(\left\{ \begin{array}{ccc} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots+a_{1n}x_{n} &=0 ~~(H_{1}) \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots+a_{2n}x_{n} &=0 ~~(H_{2})\\ \vdots &\vdots \\a_{p1}x_{1}+a_{p2}x_{2}+\ldots+a_{pn}x_{n} &=0 ~~(H_{p}) \end{array}\right.\)

forment un sous-espace vectoriel de \(\mathbf{R^n}\). On remarque que ce sous-espace est une intersection d'hyperplans \(H_{1} \cap H_{2} \cap \ldots H_{p}\). On peut donc définir des sous- espaces à l'aide d'équations formant un système linéaire homogène. Attention aux notations avec deux indices : le premier indice est le numéro de ligne, le deuxième est le numéro de " colonne ".