Espaces Rn

Des vecteurs peuvent engendrer des sous-espaces, droites et plans vectoriels.

Donnons nous un ensemble de vecteurs que nous désignons par \(A\). Quels sont tous les cas possibles ?

• Soit un vecteur \(\vec{V}\) non nul et \(A = \left \lbrace~\vec{V}\,\right \rbrace\) l'ensemble réduit à ce vecteur. Le sous-espace engendré par ce vecteur est la droite vectorielle engendrée par \(\vec{V}\) :

• \(linA = \left \lbrace ~\lambda \vec{V}~|~\lambda \in \mathbb{R}~ \right \rbrace \).

• Soient deux vecteurs non nuls \(\vec{V_{1}}\) et \(\vec{V_{2}}\) et \(A = \left \lbrace\vec{V_{1}},~\vec{V_{2}} \right \rbrace\). Le sous-espace engendré par ces deux vecteurs \(\vec{V_{1}} \neq 0\) et \(\vec{V_{2}} \neq 0\) est suivant les cas :

  • Le plan défini par les deux vecteurs si ceux-ci ne sont pas colinéaires : \(linA =\left\lbrace \lambda_{1} \vec{V_{1}} + \lambda_{2} \vec{V_{2}} ~|~ \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \mathbf{K} \right \rbrace.\)

  • La droite vectorielle engendrée par \(\vec{V_{1}}\) si \(\vec{V_{1}}\) et \(\vec{V_{2}}\) sont colinéaires \(\vec{V_{2}} = \alpha \vec{V_{1}}\), alors \(\alpha_{1} \vec{V_{1}} + \alpha_{2} \vec{V_{1}} = \mu \vec{V}\) et l'espace \(linA\) est la droite vectorielle \(\left \lbrace \mu \vec{V_{1}} ~|~\mu \in \mathbb{R} \right \rbrace.\) .

• Soient trois vecteurs non nuls, non coplanaires. Alors le sous-espace engendré par ces trois vecteurs est l'espace entier.