Générateurs de sous-espaces dans l'espace vectoriel réel de dimension n
Considérons une famille finie de vecteurs \(X_{1}, X_{2}, X_{3}, \ldots, X_{p}\). Si nous cherchons quel est l'espace engendré par ces éléments de \(\mathbf{R^n}\), nous devons imposer que cet espace \(E\) contienne tous les produits des \(X_{i}\) par des scalaires. De plus, si \(E\) contient deux éléments, \(E\) doit contenir leur somme et donc de proche en proche tous les éléments de type
\(\sum_{i=1}^p \alpha_{i} X_{i}\). Pour cela nous sommes amenés à introduire les combinaisons linéaires.
Notion de combinaison linéaire
Définition :
On appelle combinaison linéaire de \(p\) éléments \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{p} \in \mathbf{R^n}\) à cœficients réels \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots ,\lambda_{p}\) une somme \(\lambda_{1}X_{1}+\lambda_{2}X_{2}+\ldots +\lambda_{p}X_{p}.\)
Remarque :
Si on ne précise pas au départ un nombre fini de vecteurs, mais si on dit qu'on les prend dans un ensemble \(A\), fini ou non, on appelle combinaison linéaire d'éléments de \(A\) une somme finie du type précédent où les \(X\) sont dans \(A\). Une combinaison linéaire ne comporte donc qu'un nombre fini de termes non nuls.
Propriété :
La somme de deux combinaisons linéaires d'éléments de \(A\) est aussi une combinaison linéaire. Le produit d'une combinaison linéaire d'éléments de \(A\) est aussi une combinaison linéaire d'éléments de \(A\).
Propriété :
Si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbf{R^n}\), toute combinaison linéaire d'éléments de \(F\) est dans \(F\).
(C'est évident en appliquant les axiomes.)
Notation
Si \(A\) est non vide, l'ensemble \(linA\) est formé des combinaisons linéaires d'éléments de A.
\(linA=\left \lbrace \sum_{i=1}^p \alpha_{i} X_{i} ~|~ \alpha_{i} \in \mathbb{R} , p \in \mathbb{N} , X_{i } \in A \right \rbrace\)
Propriété :
Tout sous-espace vectoriel qui contient \(A\) contient \(linA.\)
linA est un sous-espace vectoriel
En effet, de façon évidente, il contient au moins un élément puisque \(A\) est non vide. Comme la somme de deux combinaisons linéaire d'éléments de \(A\) est aussi une combinaison linéaire, \(linA\) est stable par addition. Il est aussi stable par multiplication par les scalaires, puisque le produit d'une combinaison linéaire d'éléments de \(A\) est aussi une combinaison linéaire d'éléments de \(A\).
Sous-espace vectoriel engendré par \(A\)
Parmi les sous-espaces qui contiennent \(A\), \(linA\) est un sous-espace qui est contenu dans tous les autres. L'ensemble linA est le plus petit sous-espace qui contient l'ensemble \(A\), c'est le sous-espace vectoriel engendré par \(A\).