Générateurs de sous-espaces dans l'espace vectoriel réel de dimension n
Considérons une famille finie de vecteurs . Si nous cherchons quel est l'espace engendré par ces éléments de \mathbf{R^n}, nous devons imposer que cet espace E contienne tous les produits des X_{i} par des scalaires. De plus, si E contient deux éléments, E doit contenir leur somme et donc de proche en proche tous les éléments de type
\sum_{i=1}^p \alpha_{i} X_{i}. Pour cela nous sommes amenés à introduire les combinaisons linéaires.
Notion de combinaison linéaire
Définition :
On appelle combinaison linéaire de p éléments X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{p} \in \mathbf{R^n} à cœficients réels \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots ,\lambda_{p} une somme \lambda_{1}X_{1}+\lambda_{2}X_{2}+\ldots +\lambda_{p}X_{p}.
Remarque :
Si on ne précise pas au départ un nombre fini de vecteurs, mais si on dit qu'on les prend dans un ensemble A, fini ou non, on appelle combinaison linéaire d'éléments de A une somme finie du type précédent où les X sont dans A. Une combinaison linéaire ne comporte donc qu'un nombre fini de termes non nuls.
Propriété :
La somme de deux combinaisons linéaires d'éléments de A est aussi une combinaison linéaire. Le produit d'une combinaison linéaire d'éléments de A est aussi une combinaison linéaire d'éléments de A.
Propriété :
Si F est un sous-espace vectoriel de \mathbf{R^n}, toute combinaison linéaire d'éléments de F est dans F.
(C'est évident en appliquant les axiomes.)
Notation
Si A est non vide, l'ensemble linA est formé des combinaisons linéaires d'éléments de A.
linA=\left \lbrace \sum_{i=1}^p \alpha_{i} X_{i} ~|~ \alpha_{i} \in \mathbb{R} , p \in \mathbb{N} , X_{i } \in A \right \rbrace
Propriété :
Tout sous-espace vectoriel qui contient A contient linA.
linA est un sous-espace vectoriel
En effet, de façon évidente, il contient au moins un élément puisque A est non vide. Comme la somme de deux combinaisons linéaire d'éléments de A est aussi une combinaison linéaire, linA est stable par addition. Il est aussi stable par multiplication par les scalaires, puisque le produit d'une combinaison linéaire d'éléments de A est aussi une combinaison linéaire d'éléments de A.
Sous-espace vectoriel engendré par A
Parmi les sous-espaces qui contiennent A, linA est un sous-espace qui est contenu dans tous les autres. L'ensemble linA est le plus petit sous-espace qui contient l'ensemble A, c'est le sous-espace vectoriel engendré par A.