Préliminaires
À certaines parties du plan on associe une mesure qu'on appelle aire.
Rappel : Propriétés demandées à une mesure
Cela consiste à définir sur l'ensemble \(A\) de ces parties une fonction \(a\) ayant les propriétés suivantes :
\(\displaystyle{a (R) = L\times H}\) si \(R\) désigne un rectangle dont les mesures des côtés sont respectivement \(L\) et \(H\),
\(\displaystyle{\forall E_1\in A,\forall E_2\in A,E_1\subset E_2\Rightarrow a(E_1)\leq a(E_2)}\)
\(\displaystyle{\forall E_1\in A,\forall E_2\in A,E_1\cap E_2=\emptyset\Rightarrow a(E_1\cup E_2)=a(E_1)+a(E_2)}\)
Les conditions 2, 3 entraînent :
\(\displaystyle{\forall E_1\in A,\forall E_2\in A,a(E_1\cup E_2)=a(E_1)+a(E_2)-a(E_1\cap(E_2)}\)
Soient \(I\) un intervalle de\(\mathbf R\), \(f\) une application de \(I\) dans \(\mathbf R_+\), \(a\) et \(b\) deux points de l'intervalle \(I\),\(a< b\); on note :
\(\displaystyle{E_{a,b}(f)=\{(x,y)\in\mathbf R^2,a\leq x\leq b,0\leq y\leq f(x)\}}\)
et on cherche à définir le symbole\(\displaystyle{\int_a^bf(t)dt}\) de telle sorte que ce nombre représente l'aire de \(E_{a,b} (f)\).
Impossible d'accéder à la ressource audio ou vidéo à l'adresse :
La ressource n'est plus disponible ou vous n'êtes pas autorisé à y accéder. Veuillez vérifier votre accès puis recharger le média.
Compte tenu des propriétés demandées (de mesure), les conditions suivantes doivent être vérifiées :
1. si \(f\) est constante positive : \(\displaystyle{\forall x\in[a,b]f(x)=k>0}\), on a alors \(\displaystyle{\int_a^bf(t)dt=k(b-a)}\)
2. si \(\displaystyle{\forall(x)\in[a,b]m\leq f(x)\leq M}\) on a alors \(\displaystyle{m(b-a)\leq\int_a^bf(t)dt\leq M(b-a)}\)
3. si \(c\in]a,b[\) on a alors : \(\displaystyle{\int_a^cf(t)dt+\int_c^bf(t)dt=\int_a^bf(t)dt}\)
Impossible d'accéder à la ressource audio ou vidéo à l'adresse :
La ressource n'est plus disponible ou vous n'êtes pas autorisé à y accéder. Veuillez vérifier votre accès puis recharger le média.
On complète ces conditions par :
4. si \(f\) est constante négative :\(\displaystyle{\forall x\in[a,b]f(x)=k<0}\), alors \(\displaystyle{\int_a^bf(t)dt=k(b-a)}\)
ce qui revient à compter négativement les aires en dessous de l'axe des \(x\).
Impossible d'accéder à la ressource audio ou vidéo à l'adresse :
La ressource n'est plus disponible ou vous n'êtes pas autorisé à y accéder. Veuillez vérifier votre accès puis recharger le média.
Désormais on ne supposera donc plus la fonction considérée \(f\) positive. On a ainsi établi quatre conditions nécessaires, elles entraînent que si \(c\) est un point de \(] a, b[\) et si l'on pose :
\(m_1=\displaystyle{\inf_{x\in[a,c]}}f(x)\),\(m_2=\displaystyle{\inf_{x\in[c,b]}}f(x)\) et \(M_1=\displaystyle{\sup_{x\in[a,c]}}f(x)\), \(M_2=\displaystyle{\sup_{x\in[c,b]}}f(x)\)
le nombre \(\displaystyle{\int_a ^b f(t) dt}\) doit vérifier :
\(\displaystyle{m_1(c-a)+m_2(b-c)\leq\int_a^bf(t)dt< M_1(c-a)+M_2(b-c)}\).
On va définir le symbole \(\displaystyle{\int_a ^b f(t) dt}\) en :
découpant l'intervalle \([ a, b ]\),
encadrant la fonction \(f\) par des fonctions constantes sur chaque intervalle (d'où la nécessité pour \(f\) d'être bornée sur \([ a, b ]\)),
additionnant les aires correspondantes.