Fonction intégrable au sens de Riemann
On considère une fonction \(f\) bornée sur \([a, b]\).
Définition : Fonction intégrable au sens de Riemann
On dit que \(f\) est intégrable au sens de Riemann ( ou Riemann intégrable sur \([a, b]\)) si :
\(\displaystyle{s_{[a,b]}(f)=S_{[a,b]}(f)}\).
On note alors ce nombre \(\displaystyle{\int_a ^b f(t) dt}\) intégrale définie de \(f\) sur l'intervalle \([a, b]\).
Quand il n'y a pas d'ambiguité on omettra \(f\) et \([a , b]\) dans les notations \(\displaystyle{s_{[a,b]}(f)\textrm{ et }S_{[a,b]}(f)}\) , et l'on parlera de fonction intégrable sans préciser au sens de Riemann.
Conséquences :
Si \(\sigma\) est une subdivision quelconque de \([a , b]\), alors \(\displaystyle{s_(\sigma)\leq\int_a^bf(t)dt\leq S_(\sigma)}\).
En particulier, si \(m=\displaystyle{\inf_{x\in [a,b]}}f(x)\), et \(M=\displaystyle{\sup_{x\in [a,b]}}f(x)\), on a \(\displaystyle{m(b-a)\leq\int_a^bf(t)dt\leq M(b-a)}\).
Si \(f\) est constante sur \([a , b]\) ,alors \(f\) est intégrable et :
\(\displaystyle{\forall x\in[a,b]f(x)=k\Rightarrow\forall\sigma\in\sum\quad s(\sigma)=\displaystyle{\sum_{i=1}^nk(x_i-x_{i-1})=S(\sigma)}}\)
d'où :
\(\displaystyle{s=S=\int_a^bf(t)dt=k(b-a)}\).
On a défini l'intégrabilité d'une fonction par l'égalité d'une borne inférieure et d'une borne supérieure, c'est très abstrait. Le théorème suivant, qui exprime une condition nécessaire et suffisante, permet de franchir l'étape qui consiste à passer de borne supérieure à limite de suite.
Théorème :
Pour que \(f\) soit intégrable sur \([a , b]\), il faut et il suffit que, pour tout \(\epsilon > 0\) , il existe une subdivision \(\sigma\) de \([a , b]\) telle que :
\(\displaystyle{S(f,\sigma)-s(f,\sigma)<\epsilon}\).
Preuve :
Condition nécessaire
On suppose \(f\) intégrable sur \([a,b]\) c'est–à-dire qu'on a \(S = s\) .
Soit \(\epsilon>0\), l'égalité \(s=\displaystyle{\sup_{\sigma\in\Sigma}}s(\sigma)\)a pour conséquence qu'il existe une subdivision \(\sigma_1\) telle que :
\(\displaystyle{s-s(\sigma_1)<\epsilon}\) ;
De même l'égalité \(S=\displaystyle{\inf_{\sigma\in\Sigma}}S(\sigma)\) a pour conséquence qu'il existe une subdivision \(\sigma_2\) telle
\(\displaystyle{S(\sigma_2)-S<\epsilon}\).
On considère alors la subdivision \(\sigma=\sigma_1\cup\sigma_2\), on a
\(\displaystyle{s-s(\sigma)\leq s-s(\sigma_1)<\epsilon}\) et \(\displaystyle{S-S(\sigma)\leq S-S(\sigma_1)<\epsilon}\),
d'où
\(\displaystyle{S(\sigma)-s(\sigma)<2\epsilon}\).
(Le facteur \(2\) n'a bien évidemment rien de perturbant : il suffit de couper le \(\epsilon\) en deux au départ !)
Condition suffisante
Soit \(\epsilon>0\) ; par hypothèse il existe une subdivision \(\sigma\) de telle que \(\displaystyle{S(\sigma)-s(\sigma)<\epsilon}\).
On a alors, pour tout \(\displaystyle{\epsilon>0}\) : \(\displaystyle{S-s\leq S(\sigma)-s(\sigma)<\epsilon}\), on en déduit \(S = s\) et \(f\) est intégrable sur \([a,b]\).
Application immédiate
Exemple de fonction non intégrable, la fonction caractéristique de l'ensemble des rationnels.
Soit \(I_Q\) la fonction caractéristique des rationnels ( elle prend la valeur \(1\) si \(x\) est rationnel et \(0\) sinon). On considère l'intervalle \([0 , 1]\). On a alors quelle que soit la subdivision \(\sigma\):
\(\displaystyle{s(f,\sigma)=0\quad\textrm{et}\quad S(f,\sigma)=1\;\textrm{car}\;\forall i=1,2...n\quad m_i=0\textrm{ et }M_i=1}\).
(Signalons que cette fonction est intégrable au sens de Lebesgue car l'ensemble des rationnels est "négligeable").