Sommes de Darboux
Soit \(f\) une fonction bornée sur \([a , b]\). On considère une subdivision \(\sigma\) de \([a , b]\) qu'on note :
\(\displaystyle{\sigma=\{x_0=a< x_1< x_2.........< x_{n-1}< x_n=b\}}\).
On pose pour \(i=1,2,...,n\) \(m_i=\displaystyle{\inf_{x\in [x_{i-1},x_i]}}f(x)\) et \(M_i=\displaystyle{\sup_{x\in [x_{i-1},x_i]}}f(x)\).
Définition :
On appelle
somme de Darboux inférieure associée à \(f\) et \(\sigma\) le nombre \(\displaystyle{s_{[a,b]}(f,\sigma)=\displaystyle{\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})}}\).
somme de Darboux supérieure associée à \(f\) et \(\sigma\) le nombre \(\displaystyle{S_{[a,b]}(f,\sigma)=\displaystyle{\sum_{i=1}^nM_i(x_i-x_{i-1})}}\)
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Dans les démonstrations on omettra \([a , b]\) et \(f\) dans les notations concernant les sommes de Darboux, et on notera \(\Sigma\) l'ensemble des subdivisions de \([a , b]\).
Propriétés des sommes de Darboux
Proposition :
Quelle que soit la subdivision \(\sigma \in \sum\), on a :
\(\displaystyle{s_{[a,b]}(f,\sigma)< S_{[a,b]}(f,\sigma)}\)
Démonstration immédiate.
Proposition :
Si \(\sigma\) est une subdivision plus fine que \(\displaystyle{\sigma' (\sigma' \subset \sigma)}\) alors :
\(\displaystyle{s_{[a,b]}(f,\sigma')< s_{[a,b]}(f,\sigma)< S_{[a,b]}(f,\sigma)< S_{[a,b]}(f,\sigma')}\).
Preuve :
on passe de \(\sigma'\) à \(\sigma\) en ajoutant un nombre fini \(N\) de points, c'est à dire par \(N\) opérations qui consistent chacune à ajouter un point (Détails).
Première étape : On suppose que \(\sigma\) a un point \(\displaystyle{\delta\in]x_{k-1},x_k[}\) de plus que \(\sigma'\) :
On pose :
\(\mu_1=\displaystyle{\inf_{x\in [x_{k-1},\delta]}}f(x)\) et \(\mu_2=\displaystyle{\inf_{x\in [\delta,x_k]}}f(x)\),
on a :
\(\mu_1 \geq m_k\) et \(µ_2\geq m_k\) d'où
\(\mu_1(\delta-x_{k-1})+\mu_2(x_k-\delta)\geq m_k(x_k-x_{k-1})\).
Dans \(s(\sigma)\) et \(s(\sigma')\) tous les autres termes sont identiques on a donc :
\(s(\sigma') \leq s(\sigma)\).
On montre de même l'inégalité \(S(\sigma) \leq S(\sigma')\).
Seconde étape : Pour passer de \(\sigma'\) à \(\sigma\) on forme une suite de subdivisions \((\sigma_k)_{0\leq k\leq N}\) en partant de \(\sigma_0=\sigma'\) et en passant de\(\sigma_k\textrm{ à }\sigma_{k+1}\) en ajoutant un point, jusqu'à obtenir \(\sigma_N=\sigma\).
On définit deux suites finies de réels \((s(\sigma_k))_{0\leq k\leq N}\) croissante et \((S(\sigma_k))_{0\leq k\leq N}\) decroissante d'où \(\displaystyle{s(\sigma')< s(\sigma)\quad\textrm{et}\quad S(\sigma)\leq S(\sigma')}\).
Proposition :
Si \(\sigma\) et \(\sigma'\) sont deux subdivisions quelconques de \([a, b]\), on a alors :
\(\displaystyle{s_{[a,b]}(f,\sigma)< S_{[a,b]}(f,\sigma')}\).
Preuve :
on a, d'après la proposition 2
\(\displaystyle{s(\sigma)\leq s(\sigma\cup\sigma')\leq S(\sigma\cup\sigma')\leq S(\sigma')}\).
Définition :
L'ensemble non vide \(\displaystyle{\{s_{[a,b]}(f,\sigma),\sigma\in\Sigma\}}\) est borné supérieurement, on note \(\displaystyle{s_{[a,b]}(f)}\) sa borne supérieure,
L'ensemble non vide \(\displaystyle{\{S_{[a,b]}(f,\sigma),\sigma\in\Sigma\}}\) est borné inférieurement, on note \(\displaystyle{S_{[a,b]}(f)}\) sa borne inférieure.
On a immédiatement :
\(\displaystyle{s_{[a,b]}(f)\leq S_{[a,b]}(f)}\).