Formule de Taylor pour un polynôme à coefficients réels ou complexes
Rappel : sur la notation des fonctions polynômes :
On sait que dans le cas de polynômes à coefficients dans un corps infini, la fonction polynôme de \(K\) dans \(K\), \(x\mapsto \tilde{P}(x)\), est entièrement déterminée par le polynôme \(P\). Cela permet de simplifier les notations et en particulier lorsque l'on considère des polynômes à coefficients réels ou complexes, elle pourra être notée \(x\mapsto P(x)\) sans aucune ambiguïté.
La formule de Taylor pour les polynômes est démontrée ici uniquement par des moyens algébriques. Elle est extrêmement utile dans l'étude des racines d'un polynôme.
Proposition : Formule de Taylor pour les polynômes
Soit \(P(X)\) un élément non nul de \(K[X]\) (\(K=R\) ou \(K=C\)), de degré \(n\). Alors :
i. Si \(1\leq k\leq n,~k\in N, P^{(k)}(X)\) est un polynôme de degré \(n-k\).
Si \(k>n,~k\in N, P^{(k)}(X)=0\).
ii. Pour tout \(h\) de \(K\), on a:
\(P(X+h)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{k=n}}\frac{P^{(k)}(h)}{k!}X^k\)
Démonstration :
i. Une démonstration par récurrence immédiate justifie la propriété.
ii. si \(P(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n\) est un élément de \(K[X]-\{0\}\), l'opération de substitution d'un polynôme dans un autre permet d'écrire :
\(P(X+h)=a_0+a_1(X+h)+\ldots+a_n(X+h)^n\)
On obtient ainsi un élément de \(K[X]\). Il existe donc des éléments \(b_0,b_1,\ldots,b_n\) de \(K\) tels que \(P(X+h)=b_0+b_1X+\ldots+b_nX^n\). Soit k, \(0\leq k\leq n\). En dérivant \(k\) fois le polynôme \(P(X+h)\) sous la forme \(b_0+b_1X+\ldots+b_nX^n\), on obtient (par une récurrence simple) \(P^{(k)}(X+h)=k!b_k+XQ_k(X)\) et par conséquent, en prenant la valeur en 0 de la fonction polynôme associée, on a \(P^{(k)}(h)=k!b_k\).
La formule peut aussi être formulée de la manière suivante :
Si \(a\) est un élément de \(K\), on a \(P(X)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{k=n}}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k\).
Il suffit de prendre \(h=a\) et de substituer \(X-a\) à \(X\) dans l'égalité
\(P(X+h)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{k=n}}\frac{P^{(k)}(h)}{k!}X^k\)pour obtenir ce résultat.