Développement de Taylor [Fonctions polynômes]

Développement de Taylor

Durée : 8 mn

Note maximale : 10

Soit, dans $\mathrm{I\!R}[X]$ , le polynôme $P(X)=X^4-7X^3+15X^2-12X-12.$

Exprimer $P(X)$ comme combinaison linéaire des puissances de $X-1.$

D'après la formule de Taylor dans $\mathrm{I\!R}[X]$ , le degré de $P$ étant égal à 4,

$P(X)=P(1)+P\,'(1)(X-1)+\frac{P\,''(1)}{2}(X-1)^2+\frac{P\,^{(3)}(1)}{6}(X-1)^3+\frac{P\,^{(4)}(1)}{24}(X-1)^4 ~~~(3 pts)$

On calcule donc les dérivées successives de $P$ .

$\begin{array}{lcl} P\,'(X) &=& 4X^3-21X^2+30X-12 \\ P\,''(X)&=& 12X^2-42X+30 \\ P\,'''(X) &=& 24X-42 \\ P\,^4(X)&=&24 \end{array} ~~(3pts)$

On en déduit $P(1)=-15 \, ,\, P\,'(1)=1 , P\,''(1)=0 \, , \, P\,'''(1)=-18 \, ,\, P\,^{4} (1)=24~~~~ (2pts)$

D'où $P(X)=-15+(X-1)-3(X-1)^3+(X-1)^4$ ~~~~(2pts)