Ordre de multiplicité d'une racine

Durée : 10 mn

Note maximale : 15

Question

Soit \(a\) et \(b\) deux réels et \(P\) le polynôme \(P(X)=X^4+aX^3+bX^2+aX+1.\)

  1. Montrer que si le réel 1 est racine de \(P\), son ordre de multiplicité est au moins 2.

  2. Existe-t-il des réels \(a\) et \(b\) tels que le réel 1 soit racine de \(P\) d'ordre supérieur à 2 ? Si oui, quel est alors son ordre de multiplicité.

  3. Reprendre les questions précédentes en remplaçant 1 par -1.

Solution

1. (3 pts) \(P(X)=X^4+aX^3+bX^2+aX+1 ~,~ P\,'(X)=4X^3+3aX^2+2bX+a.\)

Supposons 1 racine de \(P\) alors \(P(1)=0\) donc \(1+a+b+a+1=0\) c'est-à-dire \(2a+b+2=0.\)

On en déduit \(P\,'(1)=4+3a+2b+a=4a+2b+4=2(2a+b+2)=0.\)

Ainsi \(P(1)=0 \Rightarrow P'(1)=0.\)

Conclusion : Si 1 est racine de \(P\) c'est une racine au moins double.

2. (7 pts) \(P''(X)=12 X^2+6aX+2b.\)

"1 racine de \(P\) d'ordre au moins 3" équivaut à \("P(1)=P\,'(1)=P\,''(1)=0".\)

Or d'après les calculs précédents \(P(1)=P\,'(1)=P\,''(1)=0" \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lcl} 2a+b &=& -2 \\ 3a+b &=& -6 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lcl} a &=& -4 \\ b &=&+6 \end{array}\right.\)

Ainsi la réponse à la question est "oui".

Alors \(P(X)=X^4-4X^3+6X^2-4X+1=(X-1)^4.\)

Dans ce cas l'ordre de la racine 1 est 4.

3. (5 pts) La démarche est analogue si on remplace 1 par -1.

\(P(-1)=-2a+b+2,P\,'(-1)=4a-2b-4=-2(-2a+b+2)\)

Donc dès que est racine de \(P\), il est aussi racine de \(P'\) donc racine au moins double.

De même \(P(-1)=P\,'(-1)=P\,''(-1)=0 \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lcl} -2a+b &=& -2 \\ -3a+b &=& -6 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lcl} a &=& 4 \\ b &=&6 \end{array}\right.\)

Ainsi il existe des réels tels que -1 soit racine de \(P\) d'ordre supérieur à 2.

Alors \(P(X)=X^4+4X^3+6X^2+4X+1=(X+1)^4.\)

Dans ce cas l'ordre de la racine -1 est 4.