Calcul du reste d'une division euclidienne
Durée : 5 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(\mathbb{K}\) le corps \(\mathbb{R}\) ou le corps \(\mathbb{C}\), \(P\) un élément de \(\mathbb{K}[X],~a_1,a_2,a_3\) trois éléments distincts de \(\mathbb{K}\).
On note \(R_1,R_2,R_3\) les restes des divisions euclidiennes de \(P\) respectivement par \(X-a_1,X-a_2,X-a_3.\)
Exprimer le reste de la division euclidienne de P par \((X-a_1)\,(X-a_2)\,(X-a_3)\)
en fonction de \(R_1,R_2,R_3,a_1,a_2,a_3.\)
Solution
D'après l'identité de la division euclidienne,
\(P(X)=(X-a_1)\,Q_1(X)+R_1~~,~~R_1 \in \mathbb{K},~R_1=P(a_1) \\ P(X)=(X-a_2)\,Q_2(X)+R_2~~,~~R_2 \in \mathbb{K},~R_2=P(a_2) \\ P(X)=(X-a_3)\,Q_3(X)+R_3~~,~~R_3 \in \mathbb{K},~R_3=P(a_3)\)
Le reste cherché \(R(X)\) satisfait à \(P(X)=(X-a_1)(X-a_2)(X-a_3)\,Q(X)+R(X)\)
avec \(R=0\) ou \(deg(R)<3\).
On en déduit \(1\leq k \leq3 , R(a_k)=P(a_k) ~~donc~~ R(a_k)=R_k\)
Le reste cherché est donc un polynôme nul ou de degré inférieur ou égal à 2, dont la fonction polynôme associée prend les valeurs \(R_1,R_2,R_3\) respectivement aux points distincts \(a_1,a_2,a_3.\)
La formule d'interpolation de Lagrange permet de conclure :
\(R(X)=R_1 \frac {(X-a_2)\,(X-a_3)}{(a_1-a_2)\,(a_1-a_3)}+R_2 \frac {(X-a_1)\,(X-a_3)}{(a_2-a_1)\,(a_2-a_3)}+R_3 \frac {(X-a_1)\,(X-a_2)}{(a_3-a_1)\,(a_3-a_2)}\)