Racine d'ordre 4
Durée : 15 mn
Note maximale : 20
Question
Soient des réels \(\alpha,\beta,\gamma\) et le polynôme \(P(X)=X^6-5X^4+\alpha X^2+\beta X +\gamma.\)
On se propose de rechercher tous les triplets \((\alpha,\beta,\gamma)\) tels que P admette une racine réelle d'ordre 4.
a . Donner une condition nécessaire et suffisante, utilisant \(P\) et ses dérivées successives, pour que le réel \(a\) soit une racine d'ordre 4 de \(P\)
b . Montrer que, si le réel a est une racine d'ordre 4 de \(P\), il appartient à un ensemble \(A\) de trois réels qu'on décrira.
c . Terminer la recherche proposée.
Pour chaque triplet trouvé :
a . Calculer le quotient de \(P(X)\) par \((X-a)^4\) sans poser la division.
b . En déduire les racines de \(P\) dans \(\mathbb{R}\) puis dans \(\mathbb{C}.\)
Solution
1.a (4 pts) Soit \((\ast)\) la propriété : P admet a comme racine réelle d'ordre 4.
\((\ast) \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lcl} P(a)=P\,'(a)=P\,''(a)=P\,'''(a)=0 \\ P\,^{4}(a) \neq 0\end{array}\right.\)
On calcule donc les dérivées successives de P.
\(P(X)=X^6-5X^4+\alpha X^2+\beta X+\gamma\)
\(P(X)=6X^5-20X^3+2\alpha X+\beta ~~~,~~~P\,''(X)=30X^4-60X^2+2\alpha\)
\(P\,'''(X)=120\,X^3-120\,X ~~~,~~~ P\,^{(4)} (X)=360\,X+120\)
Alors \((\ast) \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lcl} \alpha a^2 + \beta a +\gamma &= &5a^4-a^6 \\ 2\alpha a + \beta &=& 20a^3-6a^5 \\2\alpha &=& 60 a^2 -30a^4 \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 0&= &120a^3-120 a \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~0 &\neq &360 a -120\end{array}\right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lcl} \alpha a^2 + \beta a +\gamma &=& 5a^4-a^6 \\ 2\alpha a + \beta &=& 20a^3-6a^5 \\\alpha &=& 30 a^2 -15a^4 \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~0&=& a^3- a \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~0&\neq & 3 a -1 \end{array}\right.\)
1.b (3 pts) Supposons \(a\) racine d'ordre 4 de \(P\) alors d'après la 4ième équation \(a\,(a-1)\,(a+1)=0\). Donc c'est l'un des trois réels 0, 1 ou -1.
Ainsi \(A={0, 1 ,-1}.\)
1.c (5 pts) On va examiner trois cas :
1er cas : recherche de \(\alpha ,\beta,\gamma\) pour que 0 soit racine d'ordre 4 de \(P\), propriété notée (1).
\((1) \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lcl} \gamma =0\\ \beta =0 \\ \alpha=0 \\ 0=0 \\ 0 \neq -1 \end{array}\right.\)
Le système a une solution unique \(\alpha =\beta =\gamma =0\)
2ième cas : recherche de \(\alpha ,\beta,\gamma\) pour que 1 soit racine d'ordre 4 de \(P\), propriété notée (2).
\((2) \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lcl} \alpha+\beta+\gamma =4\\ 2\alpha+\beta =14 \\ \alpha=15 \\ 0=0 \\ 0 \neq 2 \end{array}\right.\)
Le système a une solution unique \(\alpha=15 ~,~ \beta=-16 ~,~ \gamma=5.\)
3ième cas : recherche de \(\alpha ,\beta,\gamma\) pour que -1 soit racine d'ordre 4 de \(P\), propriété notée (3).
\((3) \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lcl} \alpha -\beta+\gamma =4\\ -2\alpha+\beta =-14 \\ \alpha=15 \\ 0=0 \\ 0 \neq 2 \end{array}\right.\)
Le système a une solution unique \(\alpha=15 ~,~ \beta=16 ~,~ \gamma=5.\)
Il y a ainsi trois triplets solutions \((0,0,0) \, , (15,-16,5)\,,(15,16,5)\).
2.
1er cas (2 pts) : \(\alpha =\beta =\gamma =0,\)
\(P(X)=X^6-5X^4=X^4(X^2-5)=X^4(X-\sqrt{5})(X+\sqrt{5})\)
Le polynôme \(P\) possède trois racines réelles \(0,\sqrt {5},-\sqrt {5}\).Ce sont aussi ses racines dans C.
2ième cas (3 pts) : \(\alpha =15 ~,~\beta =-16, ~\gamma =5,~ P(X)=(X-1)^4Q(X) ~~~deg(Q)=2\).
En examinant les coefficients dominants et les termes constants,
on obtient \(\exists\, \lambda \in \mathbb{R} , ~Q(X) =X^2+\lambda X+5\).
Donc \(X^6-5X\,^4+15X\,^2-16X+5=(X-1)^4(X\,^2+\lambda X+5).\)
En prenant les valeurs des fonctions polynômes associées au point , on obtient ,
d'où \(\lambda=4\)
Ainsi \(P(X)=(X-1)^4(X\,^2+4 X+5).\)
Le discriminant du polynôme \(X\,^2+4 X+5\) vaut \(-4\) donc ce polynôme n'a pas de racine réelle.
Dans ce cas, \(P\) a une unique racine réelle : 1, et trois racines dans \(\mathbb{C}\) : 1,-2+i,-2-i
3ième cas (3 pts) : \(\alpha=15 ,~~ \beta=16 , ~~\gamma=5 , ~~P(X)=(X+1)^4Q(X) ~~~~deg(Q)=2\)
Par un raisonnement analogue au cas précédent, \(\exists\, \mu \in \mathbb{R} , ~Q(X) =X^2+\mu X+5\)
Alors \(X^6-5X\,^4+15X\,^2+16X+5=(X+1)^4(X\,^2+\mu X+5)\) et en prenant les valeurs des fonctions polynômes associées au point 1, on obtient \(16(6+\mu)=32\),d'où \(\mu=-4\)
Ainsi \(P(X)=(X+1)^4(X\,^2-4 X+5)\)
Dans ce cas, P a une unique racine réelle : -1 ,et trois racines dans \(\mathbb{C}\):-1, 2+i, 2-i .