Recherche du polynôme minimal [Polynôme minimal]

Recherche du polynôme minimal

Partie

Question

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbf K$ ( $\mathbf K$ = $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ ). On considère un endomorphisme $f$ de $E$ vérifiant les relations suivantes :

$f^3-3f^2+2f=0$
$f^8+16f^4=0$

Montrer que $f=0$ .

Aide méthodologique

A partir des deux relations vérifiées par $f$ , écrire deux polynômes annulateurs de $f$ et utiliser la propriété suivante : tout polynôme annulateur de $f$ est un multiple du polynôme minimal de $f$ .

Solution détaillée

L'endomorphisme $f$ vérifie les relations $f^3-3f^2+2f=0$ et $f^8+16f^4=0$ . Les polynômes $X^3-3X^2+2X$ et $X^8+16X^4$ sont donc des polynômes annulateurs de $f$ et donc des multiples du polynôme minimal de $f$ .

Or, $X^3-3X^2+2X=X(X-1)(X-2)$ et $X^8+16X^4=X^4(X^4+16)$ .

Le polynôme $X$ est le seul diviseur commun aux polynômes $X^3-3X^2+2X$ et $X^8+16X^4$ . C'est donc le polynôme minimal de $f$ .

Le polynôme minimal de $f$ étant un polynôme annulateur de $f$ , on a $f=0$ .