Recherche du polynôme minimal
Partie
Question
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie sur \(\mathbf K\) (\(\mathbf K\)=\(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\)). On considère un endomorphisme \(f\) de \(E\) vérifiant les relations suivantes :
\(f^3-3f^2+2f=0\)
\(f^8+16f^4=0\)
Montrer que \(f=0\).
Aide méthodologique
A partir des deux relations vérifiées par \(f\), écrire deux polynômes annulateurs de \(f\) et utiliser la propriété suivante : tout polynôme annulateur de \(f\) est un multiple du polynôme minimal de \(f\).
Solution détaillée
L'endomorphisme \(f\) vérifie les relations \(f^3-3f^2+2f=0\) et \(f^8+16f^4=0\). Les polynômes \(X^3-3X^2+2X\) et \(X^8+16X^4\) sont donc des polynômes annulateurs de \(f\) et donc des multiples du polynôme minimal de \(f\).
Or, \(X^3-3X^2+2X=X(X-1)(X-2)\) et \(X^8+16X^4=X^4(X^4+16)\).
Le polynôme \(X\) est le seul diviseur commun aux polynômes \(X^3-3X^2+2X\) et \(X^8+16X^4\). C'est donc le polynôme minimal de \(f\).
Le polynôme minimal de \(f\) étant un polynôme annulateur de \(f\), on a \(f=0\).