Projecteur
Partie
Question
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie sur \(\mathbb R\) et \(g\) un endomorphisme diagonalisable de \(E\).
On suppose qu'il existe un entier \(m\), \(m\ge2\), tel que \(g^{m+1}=g^m\). Montrer qu'un tel endomorphisme est un projecteur, c'est-à-dire vérifie la relation \(g^2=g\).
Aide méthodologique
Rechercher le polynôme minimal de \(g\) en utilisant la proposition suivante : un endomorphisme d'un \(\mathbf K\) espace vectoriel est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé dans \(\mathbf K\) et n'a que des racines simples.
Solution détaillée
L'endomorphisme \(g\) vérifie la relation \(g^{m+1}-g^m=0\). Le polynôme \(X^{m+1}-X^m\) est donc un polynôme annulateur de \(g\). Le polynôme minimal de \(g\) divise alors le polynôme \(X^{m+1}-X^m\).
Or, \(X^{m+1}-X^m=X^m(X-1)\).
L'endomorphisme \(g\) étant diagonalisable, son polynôme minimal est scindé dans \(\mathbb R\) et n'a que des racines simples. Il peut donc être égal à \(X\), \(X-1\) ou \(X(X-1)\).
Dans tous les cas le polynôme \(X(X-1)\) est un multiple du polynôme minimal de \(g\) et donc un polynôme annulateur de \(g\).
Alors, \(g\bigcirc(g-\textrm{Id}_E)=0\), or \(g\bigcirc(g-\textrm{Id}_E)=g^2-g\) et \(g\) vérifie bien \(g^2=g\).