Puissances d'une matrice
Partie
Question
Soit \(A\) la matrice élément de \(M_3(\mathbb R)\) définie par : \(A=\left(\begin{array}{ccc}3&2&-2\\-1&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\).
Calculer les puissances de la matrice \(A-I_3\).
Déterminer le polynôme minimal de la matrice \(A\).
Calculer \(A^n\) pour \(n\) élément de \(\mathbb N\).
Après avoir justifié l'existence de \(A^{-1}\), calculer \(A^n\) pour \(n\) élément de \(\mathbb Z\).
Aide méthodologique
2. A l'aide de la première question déterminer un polynôme annulateur de \(A\).
3. Procéder par récurrence.
4. Pour justifier l'existence de \(A^{-1}\), montrer, à l'aide de la première question, qu'il existe une matrice \(B\) telle que \(AB=BA=I_3\).
Vérifier que la formule donnant \(A^n\) pour \(n\) élément de \(\mathbb N\), est vraie pour \(n=-1\). Pour calculer \(A^p\) pour \(p\) entier négatif, poser \(p=-n\) et faire une récurrence sur \(n\).
Solution détaillée
\(A-I_3=\left(\begin{array}{ccc}2&2&-2\\-1&-1&1\\1&1&-1\end{array}\right)\), \((A-I_3)^2=0\), d'où pour tout \(n\ge2\), \((A-I_3)^n=0\).
\((A-I_3)^2=0\), d'où le polynôme \((X-1)^2\) est un polynôme annulateur de \(A\). Le polynôme minimal de \(A\) est un diviseur de \((X-1)^2\). Or, \(X-1\) n'est pas un polynôme annulateur de \(A\) car on a : \(A-I_3\ne0\).
Le polynôme minimal de \(A\) est donc \((X-1)^2\).
\((A-I_3)^2=0\) d'où \(A^2-2A+I_3=0\) et \(A^2=2A-I_3\).
Alors, \(A^3=2A^2-A=2(2A-I_3)-A=3A-2I_3\).
On se propose de démontrer par récurrence que pour tout entier \(n\), \(n\ge2\), \(A^n=nA-(n-1)I_3\).
On note \(P(n)\) la propriété : \(A^n=nA-(n-1)I_3\).
\(A^2=2A-I_3\) d'où \(P(2)\) est vraie.
On suppose que pour un entier \(n\), \((n\ge2)\), \(A^n=nA-(n-1)I_3\).
Alors, \(A^{n+1}=nA^2-(n-1)A=2nA-nI_3-(n-1)A=(n+1)A-nI_3\).
Si \(P(n)\) est vraie, alors \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion : pour tout entier \(n\), \(n\ge2\), \(A^n=nA-(n-1)I_3\).
Or, cette égalité est aussi vraie pour \(n=0\) car \(A^0=I_3\) et pour \(n=1\). Elle est donc vraie pour tout \(n\) élément de \(\mathbb N\).
\(A^2=2A-I_3\) d'où \(2A-A^2=I_3\) et \(A(2I_3-A)A=(2I_3-A)A=I_3\). La matrice \(A\) est donc inversible et \(A^{-1}=2I_3-A\). Cette égalité peut s'écrire \(A^n=nA-(n-1)I_3\) avec \(n=-1\) ou \(A^{-n}=-nA-(-n-1)I_3=-nA+(n+1)I_3\) avec \(n=1\).
Démontrons par récurrence, que pour tout \(n\) élément de \(\mathbb N^*\), \(A^{-n}=-nA+(n+1)I_3\).
On note \(Q(n)\) la propriété : \(A^{-n}=-nA+(n+1)I_3\).
\(Q(1)\) est vraie.
On suppose que \(A^{-n}=-nA+(n+1)I_3\).
Alors,
\(A^{-(n+1)}=(A^{n+1})^{-1}=(A^n\times A)^{-1}=A^{-1}\times A^{-n}=(2I_3-A)A^{-n}=(2I_3-A)(-nA+(n+1)I_3)\)
\(A^{-(n+1)}=-(3n+1)A+2(n+1)I_3+n(2A-I_3)=-(n+1)A+(n+2)I_3\)
Si \(Q(n)\) est vraie, alors \(Q(n+1)\) est vraie.
On a donc démontré par récurrence que :
pour tout \(n\) élément de \(\mathbb N^*\), \(A^{-n}=-nA+(n+1)I_3\) c'est-à-dire \(A^{-n}=-nA-(-n-1)I_3\).
On a donc pour tout entier \(p\) négatif, \(A^p=pA-(p-1)I_3\).
On a démontré à la question 2. que pour tout \(n\) élément de \(\mathbb N\), \(A^n=nA-(n-1)I_3\).
Donc, pour tout \(n\) élément de \(\mathbb Z\), \(A^n=nA-(n-1)I_3\).