Polynôme minimal et sous-espaces stables
Partie
Question
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n\) sur \(\mathbf K\) (\(\mathbf K=\mathbb R\) ou \(\mathbb C\)) et \(u\) un endomorphisme de \(E\).
Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\) stable par \(u\). Montrer que si \(u\) est diagonalisable, la restriction de \(u\) à \(F\), notée \(u_{|F}\), est un endomorphisme de \(F\) diagonalisable.
On suppose que \(E\) est somme directe de \(r\) sous-espaces vectoriels de \(E\), \((F_i)_{1\le i\le r}\) stables par \(u\). Montrer que \(u\) est diagonalisable si et seulement si les \(r\) restrictions de \(u\) aux sous-espaces \(F_i\) sont diagonalisables.
Aide simple
Montrer que le polynôme minimal de \(u_{|F}\) divise le polynôme minimal de \(u\).
Si \(E\) est somme directe de \(r\) sous-espaces vectoriels de \(E\), l'ensemble des vecteurs des bases des \(r\) sous-espaces vectoriels forme une base de \(E\).
Aide méthodologique
Utiliser la proposition suivante : un endomorphisme d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé dans \(\mathbf K\) et n'a que des racines simples.
Montrer les deux implications suivantes :
a. si \(u\) est diagonalisable alors les \(r\) restrictions de \(u\) aux sous-espaces \(F_i\) sont diagonalisables.
b. si les \(r\) restrictions de \(u\) aux sous-espaces \(F_i\) sont diagonalisables, alors \(u\) est diagonalisable.
Aide à la lecture
Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\), \(F\) est stable par l'endomorphisme \(u\) si :
\(\forall v\in F\quad u(v)\in F\)
La restriction de \(u\) au sous-espace \(F\) est l'application :
\(\begin{array}{ccc}F&\rightarrow&F\\v&\mapsto&u(v)\end{array}\)
C'est un endomorphisme de \(F\).
Solution détaillée
Puisque le polynôme minimal de \(u\) est un polynôme annulateur de \(u\),
on a : \(\forall x\in E, \Big(P_{\textrm{min},u}(u)\Big)(x)=0\),
et en particulier : \(\forall x\in F, \Big(P_{\textrm{min},u}(u)\Big)(x)=0\).
Or, \(\forall x\in F,\Big(P_{\textrm{min},u}(u)\Big)(x)=\Big(P_{\textrm{min},u}(u_{|F})\Big)(x)\).
D'où : \(\forall x\in F,\Big(P_{\textrm{min},u}(u_{|F})\Big)(x)=0\) et donc \(P_{\textrm{min},u}(u_{|F})=0\).
Le polynôme minimal de \(u\) est un polynôme annulateur de \(u_{|F}\). Le polynôme minimal de \(u_{|F}\) divise donc le polynôme minimal de \(u\). L'endomorphisme \(u\) étant diagonalisable, son polynôme minimal est scindé dans \(\mathbf K\) et n'a que des racines simples. Il en est donc de même pour le polynôme minimal de \(u_{|F}\) et l'endomorphisme \(u_{|F}\) est un endomorphisme de \(F\) diagonalisable.
\(E=F_1\oplus F_2\oplus\cdots\oplus F_r\). Les \(r\) sous-espaces vectoriels \(F_i\) sont stables par \(u\).
D'après la première question, si l'endomorphisme \(u\) est diagonalisable alors les \(r\) restrictions de \(u\) aux sous-espaces \(F_i\) sont diagonalisables.
Etudions la réciproque, c'est-à-dire, montrons que si les \(r\) restrictions de \(u\) aux sous-espaces \(F_i\) sont diagonalisables, alors \(u\) est diagonalisable.
Si pour tout \(i, 1\le i\le r\), \(u_{|F_i}\) est diagonalisable alors, pour tout \(i, 1\le i\le r\), il existe une base \(B_i\) de \(F_i\) formée de vecteurs propres de \(u_{|F_i}\). L'espace vectoriel \(E\) est somme directe des \(r\) sous-espaces vectoriels \(F_i\). L'ensemble des vecteurs des bases \(B_i\) forme donc une base de \(E\). Or, si \(v\) est un vecteur propre de \(u_{|F_i}\), il est aussi vecteur propre de l'endomorphisme \(u\) de \(E\) : en effet, c'est un vecteur non nul de \(F_i\) pour lequel il existe un scalaire \(\lambda\) tel que \(u_{|F_i}(v)=\lambda v\), mais \(u_{|F_i}(v)=u(v)\), c'est donc un vecteur non nul de \(E\) pour lequel il existe un scalaire \(\lambda\) tel que \(u(v)=\lambda v\).
Il existe donc une base de \(E\) formée de vecteurs propres de \(u\), l'endomorphisme \(u\) de \(E\) est donc diagonalisable.