Théorème général
Notons que le dernier des trois théorèmes démontrés (théorème C), qui concerne les fonctions positives et décroissantes, peut être étudié indépendamment des théorèmes A et B. Nous en donnerons deux démonstrations dont une directe. On peut donc, dans un premier temps, laisser de côté la démonstration des deux premiers ou, beaucoup mieux, la considérer comme un très bon exercice théorique.
L'étude repose sur le théorème relatif aux intégrales impropres de la forme \(\int_a^{+\infty}f(t)dt\) que nous rappelons ici. C'est ce théorème qui permet d'établir le critère de Cauchy pour les intégrales impropres.
Théorème :
Soit \(f\) une fonction localement intégrable sur un intervalle \([a,+\infty[\). Pour que l'intégrale \(\int_a^{+\infty}f(t)dt\) soit convergente, il faut et il suffit que, pour toute suite \((x_n)\) qui tend vers \(+\infty\), la suite \((F(x_n))\) définie par \(F(x_n)=\int_a^{x_n}f(t)dt\)soit convergente. On a alors
\(\int_a^{+\infty}f(t)dt=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}F(x_n)\).
Théorème : A
Soit \(f\) une fonction localement intégrable sur un intervalle \([a,+\infty[\). L'intégrale \(\int_a^{+\infty}f(t)dt\) est convergente si et seulement si, pour toute suite \((x_n)\) qui tend vers \(+\infty\), la série de terme général \(\int_{x_n}^{x_{n+1}}f(t)dt\) est convergente.
Preuve :
On pose \(v_n=\int_{x_n}^{x_{n+1}}f(t)dt\). D'après le théorème rappelé ci-dessus, l'intégrale \(\int_a^{+\infty}f(t)dt\) est convergente si et seulement si pour toute suite \((x_n)\) qui tend vers \(+\infty\), la suite \((F(x_n))\) définie par \(F(x_n)=\int_a^{x_n}f(t)dt\) est convergente, soit encore si et seulement si la suite \((F(x_n))\) est de Cauchy.
Or on a, pour \(p > m\) : \(F(x_p)-F(x_m)=\int_{x_m}^{x_p}f(t)dt=\displaystyle{\sum_{k=m}^{p-1}}v_k\).
L'intégrale \(\int_a^{+\infty}f(t)dt\) est convergente si et seulement si la série \(\sum v_n\) satisfait au critère de Cauchy, soit encore si et seulement si la série \(\sum v_n\) est convergente.
Remarque : fondamentale
Ce théorème permet de montrer
la divergence d'une intégrale : il suffit de trouver une suite particulière, telle que la série associée soit divergente. On peut retrouver ainsi le fait que l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt\) n'est pas absolument convergente.
On a en effet si \((x_n)=(n\pi)\), \(v_n=\int_{n\alpha}^{(n+1)\alpha}\frac{|\sin t|}{t}dt\geq\frac{1}{(n+1)\pi}\int_{n\alpha}^{(n+1)\alpha}|\sin t|dt=\frac{2}{(n+1)\pi}\) et \(v_n\) est donc le terme général d'une série divergente.
la convergence ou la divergence d'une série : on peut retrouver ainsi les résultats concernant la convergence des séries de Riemann en associant à la série \(\displaystyle{\sum_{n\geq 1}}\frac{1}{n^s}\) la fonction \(x\mapsto\frac{1}{x^s}\), définie sur l'intervalle \(]0,+\infty[\).
En revanche, on ne montre pas en général la convergence d'une intégrale par cette méthode : il faudrait en effet considérer toutes les suites \((x_n)\) qui tendent vers \(+\infty\).