Séries numériques - Cours

On considère les séries de terme général \(u_n=\frac{1}{n^\alpha\ln^\beta n}(n\geq2,\alpha\in R,\beta\in R\) dites séries de Bertrand.

On remarque que seuls posent problème les cas \(\alpha=1\), avec \(\beta>0\). En effet, d'après les théorèmes de comparaison ou la règle \(n^su_n\):

• pour \(\alpha<1\), on a \(nu_n=n^{1-\alpha}\ln^{-\beta}n\) et donc \(nu_n\rightarrow+\infty\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\); la série \(\sum u_n\)est divergente ;

• pour \(\alpha>1\) il existe \(\gamma\) vérifiant \(1<\gamma<\alpha\) alors \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}n^{r-\alpha}\ln^{-\beta}n=0\); la série \(\sum u_n\) est convergente ;

• pour \(\alpha=1,\beta\leq0\), alors on a, pour \(n\) assez grand, \(\frac{1}{n\ln^{\beta}n}>\frac1n\) et la série \(\sum u_n\) est divergente.

On considère maintenant le cas :\(\alpha=1,\beta>0\) . Les théorèmes généraux ne permettent pas, en effet, de l'étudier. On associe à la série \(\sum u_n\) la fonction, \(x\mapsto \frac{1}{x\ln^\beta x}\), définie sur l'intervalle \(]1,+\infty[\). Cette fonction est positive et décroissante. La série est de même nature que l'intégrale \(\int_2^{+\infty}\frac{1}{t\ln^\beta t}dt\), transformée par le changement de variable bijectif \(u=\ln t\)en l'intégrale \(\int_{\ln 2}^{+\infty}\frac{du}{u^\beta}\). Cette dernière converge si et seulement si \(\beta>1\).

Les séries de Bertrand, séries de terme général \(u_n=\frac{1}{n^\alpha\ln^\beta n}(n\geq2,\alpha\in R,\beta\in R) \)sont convergentes si et seulement si : \(\alpha>1\) ou \(\alpha=1\) avec \(\beta>1\).