Séries numériques - Cours

On utilise les théorèmes A et B.

On pose : \(\forall n>a,u_n=f(n)\) et \(v_n=\int_n^{n+1}f(t)dt\).

La décroissance de la fonction \(f\) entraîne, pour \(n > a\), les inégalités :

\(u_{n+1}=f(n+1)\leq v_n\leq f(n)=u_n\).

Condition nécessaire

Si l'intégrale \(\int_a^{+\infty}f(t)dt\)est convergente, alors, d'après le théorème A, la série \(\sum v_n\)est convergente et les inégalités ci-dessus entraînent la convergence de la série \(\sum u_n\).

Condition suffisante

Si la série \(\sum u_n\) est convergente, les inégalités précédentes entraînent la convergence de la série \(\sum v_n\) et, d'après le théorème B, l'intégrale est convergente.

On peut donner une démonstration directe qui n'utilise pas les théorèmes A et B.

On suppose par exemple \(a\) entier, et on pose :

\(\forall n\geq a,u_n=f(n)\) et \(v_n=\int_n^{n+1}f(t)dt\).

À partir des inégalités : \(\forall k\geq a,f(k+1)\leq v_k\leq f(k)\), on obtient, en les additionnant membre à membre pour \(k\in\{a,a+1,\ldots,n\}\), \(\displaystyle{\sum_{k=a+1}^{n+1}}u_k\leq\int_a^{n+1}f(t)dt\leq\displaystyle{\sum_{k=a}^{n}}u_k\). Soit, en notant \((s_n)_{n\geq a}\)la suite des sommes partielles de la série de terme général \(u_n(n\geq a)\):

\(\forall n\geq a,s_{n+1}-u_a\leq\int_{a}^{n+1}f(t)dt\leq s_n\).

Si l'intégrale \(\int_{a}^{+\infty}f(t)dt\) est convergente, alors la suite croissante \((s_n)\) est majorée et donc convergente et la série \(\sum u_n\) est convergente.

Si la série \(\sum u_n\) est convergente, alors pour \(x\geq a\), on a, si on désigne par \(n\) la partie entière de \(x\), \(\int_a^nf(t)dt\leq F(x)=\int_a^{n+1}f(t)dt\leq s_n\). Ainsi la fonction \(F\), qui est croissante, est majorée et a donc une limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\). L'intégrale est convergente.