Exercice 2
Partie
Question
Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies par :\(f_n(x) = \frac{1}{n^x}\) pour n \(\geqslant\) 1 et x \(\geqslant\) 0.
Aide simple
Penser à distinguer le cas x = 0.
Solution détaillée
Pour x = 0, pour tout n de\( \mathbb{N^*}\) , \(f_n(x) = 1\).
Pour x > 0, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x) = 0\) . Donc, en notant f la fonction définie sur \(\mathbb{R^+}\) par : x = 0 f(x) = 1 et x > 0 f(x) = 0 , alors \(\begin{array}{ccc}&cs&\\(f_n)&\rightarrow& \ f \\&\mathbb{R_+}&\end{array}\)