Étudier la convergence simple de la suite de fonctions () définies par f_n(x) = arctan(x - n) .
Se rappeler la limite de arctan(u) lorsque u tend vers -\infty
Pour x fixé dans \mathbb{R}, \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} (x - n) = -\inftyet comme \displaystyle \lim_{u \rightarrow -\infty} arctan(u) = - \frac{\pi}{2} on en déduit que \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} arctan(x - n) = - \frac{\pi}{2} . n-->+o o 2
La suite (f_n) converge simplement sur \mathbb{R} vers la fonction constante x\rightarrow -\frac{\pi}{2}
