Exercice 8
Partie
Question
Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies par \(f_n(x) = arctan(x - n)\) .
Aide simple
Se rappeler la limite de arctan(u) lorsque u tend vers -\(\infty\)
Solution détaillée
Pour x fixé dans \(\mathbb{R}\), \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} (x - n) = -\infty\)et comme \(\displaystyle \lim_{u \rightarrow -\infty} arctan(u) = - \frac{\pi}{2}\) on en déduit que \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} arctan(x - n) = - \frac{\pi}{2}\) . n-->+o o 2
La suite (\(f_n\)) converge simplement sur \(\mathbb{R}\) vers la fonction constante \(x\rightarrow -\frac{\pi}{2}\)