Exercice 10
Partie
Question
Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies, pour n \(\geqslant\) 1, par \(f_n(x) = x^2 sin \left( \frac{1}{nx} \right)\)
Aide simple
Prolonger \(f_n\) par continuité en 0.
Se rappeler que | sin(u) | \(\leqslant\) |u | pour tout u réel.
Solution détaillée
La suite (\(f_n\)) n'est définie que pour n \(\geqslant\) 1.
On prolonge chaque \(f_n\) par continuité en 0 en posant \(f_n(0) = 0\). Alors, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} |f_n(0)|= 0\).
De plus, puisque |sin(u)| \(\leqslant\) |u| pour tout u réel, on en déduit que, pour tout x de \(\mathbb{R^*}\), \(|f_n(x)| \leqslant x^2. \left|\frac{1}{nx} \right| = \frac{x}{n}\)
Donc \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} |f_n(x)|= 0\)., donc \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x)= 0\)..
La suite (\(f_n\)) converge simplement sur \(\mathbb{R}\) vers \(\tilde{0}\) .