Exercice 12
Partie
Question
Soit f une application d'un ensemble E dans \(\mathbb{R}\) minorée par un réel a strictement positif.
On considère la suite de fonctions x \(\longmapsto f_n(x) = \frac{nf(x)}{1 + nf (x )}\)
Étudier la convergence simple de la suite (\(f_\)n) sur E.
Aide simple
L'hypothèse « f minorée sur E par a > 0 » est primordiale
Solution détaillée
Soit x \(\in\) E ;\( f_n(x) = \frac{nf(x)}{1 + nf (x )} = 1 - \frac{1}{1 + nf(x)}\)
Pour tout x \(\in\) E, f(x) > 0 puisque f est minorée par a > 0 sur E.
Donc \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} nf(x) = +\infty\) et 1 \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 1 - \frac{1}{1 + nf(x)} = 1\)
La suite (\(f_n\)) converge simplement sur E vers la fonction constante égale à 1.