Exercice 28
Partie
Question
Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies par : \(f_n(x) = \frac{1}{n^x}\) pour x \(\geqslant\) 0.
Aide simple
En notant f la fonction définie sur \(\mathbb{R^+}\) par : \(\left \{ \begin{array}{cc} x=0 & f(x)=1 \\ x>0 & f(x)=0 \end{array} \right. \) , alors \(\begin{array}{ccc}&cs&\\(f_n)&\rightarrow& f\\&\mathbb{R_+}&\end{array}\)
Mais la suite (\(f_n\)) ne converge pas uniformément vers f sur \(\mathbb{R^+}\) .
Solution détaillée
Le problème de non-convergence uniforme semble provenir du point 0.
L'idée est donc de regarder s'il y a convergence uniforme sur [a, \(+\infty\) [ (avec a > 0).
Sur [a, \(+\infty\) [, la suite (\(f_n\)) converge simplement vers \(\tilde{0}\) et \(| f_n(x)- 0|= f_n(x) = \frac{1}{n^x}\)
Il est alors immédiat que \(\underset{x \in [a,+\infty[}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 0 | \Big \} = \frac{1}{n^a}\)
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty \textrm{ }} \frac{1}{n^a}= 0\), donc la suite (\(f_n\)) converge uniformément vers \(\tilde{0}\) sur [a, \(+\infty\) [.
La suite (\(f_n\)) converge uniformément vers \(\tilde{0}\) sur [a, \(+\infty\) [ [ (a > 0 ).