Suites de fonctions

La non-convergence uniforme sur \(\mathbb{R}\) vient du fait que, pour n fixé, on peut toujours trouver un x assez grand (en valeur absolue) tel que |\(f_n(x)\)| = 1. En effet, il suffit de prendre \(x = n. \frac{\pi}{2}\) ou \(x =- n. \frac{\pi}{2}\) pour cela.

L'idée est donc de se restreindre à un intervalle [a, b] (avec a < b).

Pour tout x de [a, b], \(| f_n(x) - 0|= \bigg |sin\bigg (\frac{x}{n} \bigg) \bigg| \leqslant \bigg |\frac{x}{n} \bigg | \leqslant \frac{max \lbrace |a| ; |b|\rbrace}{n}\)

On voit immédiatement que \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty }  \frac{max \lbrace |a| ; |b|\rbrace}{n} = 0\) donc la convergence de la suite (\(f_n\)) vers \(\tilde{0}\) est uniforme sur [a, b].

La suite (\(f_n\)) converge uniformément vers \(\tilde{0}\) sur [a, b].