Suites de fonctions

La raison pour laquelle il n'y a pas convergence uniforme est que \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty } f_n(x) = 1\).

L'idée est donc de considérer un intervalle fini [0, a] (avec a > 0) et de regarder si, sur cet intervalle, il y a convergence uniforme de la suite (\(f_n\)) vers \(\tilde{0}\) .

Cherchons donc \(\underset{x \in [0, a]}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 0 | \Big \} \): pour tout n \(\geqslant\) 1, \(| f_n(x) - 0|=|f_n(x)| = f_n(x) = \frac{x}{x + n}\) et la fonction\( f_n\) est strictement croissante sur [0, a]. De plus, \(f_n(a) = \frac{a}{a + n}\) donc\( \underset{x \in [0, a]}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 0 | \Big \}= \frac{a}{a + n}\) et \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } \frac{a}{a + n} = 0\). On applique la définition : la suite (\( f_n\) ) converge uniformément sur [0, a] vers \(\tilde{0}\).

La suite (\( f_n\) ) converge uniformément sur [0,a] vers \(\tilde{0}\) ( a > 0 ).