Suites de fonctions

Pour tout n de $\mathbb{N}$, étudions la fonction $\phi_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\phi_n(x) =\bigg |arctan(x-n) + \frac{\pi}{2} \bigg |$

On a, pour tout u réel, donc, pour tout x réel, $-\frac{\pi}{2}< arctan(u) < \frac{\pi}{2}$ donc, pour tout x réel, $\phi_n(x) = arctan(x-n) + \frac{\pi}{2}$

$\phi_n(x)$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\phi_n'(x) = \frac{1}{1 + (x - n)^2} > 0$ .

$\phi_n(x)$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty } \phi_n(x) = 0$.

. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty } \phi_n(x) = \pi$.

Le problème pour la convergence uniforme de ($f_n$) apparaît donc lorsque x est au voisinage de $+\infty$. L'idée est alors de regarder ce qui se passe sur ] $-\infty$, a] (pour tout a réel).

$\phi_n(a) =arctan(a-n) + \frac{\pi}{2}$. Ceci prouve que $\underset{x \in ]-\infty, a]}{sup} \bigg \{ |arctan(x-n ) + \frac{\pi}{2}| \bigg \}\phi_n(x) =arctan(a-n) + \frac{\pi}{2}$

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } arctan(a-n) + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0$ ce qui prouve que la suite de fonctions ($f_n$) converge uniformément sur ] $-\infty$, a] vers la fonction constante $x \rightarrow - \frac{\pi}{2}$

La suite de fonctions ($f_n$) converge uniformément sur ] $-\infty$, a] vers la fonction constante $x \rightarrow - \frac{\pi}{2}$