Suites de fonctions

• Sur [ 0 , 1 ]:

  la suite ($f_n$) converge simplement sur [0, 1] vers la fonction $\phi$ définie par $\phi(x)$ = 0 pour 0 $\leqslant$ x < 1 et $\phi(1) = \frac{1}{2}$

Or, toutes les fonctions $f_n$ sont continues sur [0, 1] et $\phi$ n'est pas continue en 1. La convergence de ($f_n$) vers $\phi$ n'est donc pas uniforme sur [0, 1].

• Sur [1, $+\infty$ [ :

  la suite ($f_n$) converge simplement sur [1, $+\infty$ [ vers la fonction définie par $\gamma(x)$ = 1 pour 1 < x et $\gamma(1) = \frac{1}{2}$

Or, toutes les fonctions $f_n$ sont continues sur [1, $+\infty$[ et $\gamma$ n'est pas continue en 1. La convergence de ( $f_n$ ) vers $\gamma$ n'est donc pas uniforme sur [1, $+\infty$ [.

• Sur [0 , a], 0 < a < 1 :

  la suite ($f_n$) converge simplement sur [0, a] vers la fonction$\tilde{0}$. Pour tout n $\geqslant$ 1, la fonction $f_n$ est strictement croissante sur [0, a], $f_n(0) = 0$ et $f_n(a) = \frac{a^n}{1 + a^n}$

Donc $sup_{x \in [0, a]} \Big \{ |f_n(x )- 0 | \Big \}= \frac{a^n}{1 + a^n}$, et on a, puisque 0 < a < 1, $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty }  \frac{a^n}{1 + a^n} = 0$. La suite ($f_n$) converge donc uniformément vers $\tilde{0}$ sur [0, a].

La suite ($f_n$) converge uniformément vers $\tilde{0}$ sur [0 , a] (0 < a < 1).

• Sur [b, $+\infty$ [, 1 < b :

  la suite ($f_n$) converge simplement sur [b, $+\infty$ [ vers la fonction constante 1 (notée $\tilde{1}$). Pour tout n $\geqslant$ 1, la fonction $f_n - \tilde{1}$ est strictement croissante sur [b, $+\infty$ [, $( f_n -\tilde{1} )(b) = -\frac{1}{1 + b^n}$ et .

Donc $\underset{x \in [0, a]}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 0 | \Big \}= \frac{a}{a + n}$, et on a, puisque 1 < b, $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty }  \frac{1}{1 + b^n} = 0$. La suite ($f_n$) converge donc uniformément vers la fonction constante 1 sur [b, $+\infty$ [.

La suite ($f_n$) converge uniformément sur [b, $+\infty$ [ vers la fonction constante 1.