Exercice 34
Partie
Question
Soit la suite (\(f_n\)) de fonctions définies sur \(\mathbb{R_+}\) par\( f_n(x) = \frac{x^n}{1 + x^n}\)
Montrer que (\(f_n\)) converge uniformément sur [0, a], 0 < a < 1, ainsi que sur [b, \(+\infty\) [, 1 < b, mais non sur [0, 1] ni sur [1, \(+\infty\)[.
Aide simple
La suite (\(f_n\)) converge simplement sur \(\mathbb{R_+}\) vers la fonction f définie par \(\left \{ \begin{array}{cc} 0 \leqslant x < 1& f(x)=0 \\ x=1 & f(x)= \frac{1}{2} \\ 1 <x& f(x)=1 \end{array} \right.\)
Solution détaillée
Sur [ 0 , 1 ]:
la suite (\(f_n\)) converge simplement sur [0, 1] vers la fonction \(\phi\) définie par \(\phi(x)\) = 0 pour 0 \(\leqslant\) x < 1 et \(\phi(1) = \frac{1}{2}\)
Or, toutes les fonctions \(f_n\) sont continues sur [0, 1] et \(\phi\) n'est pas continue en 1. La convergence de (\(f_n\)) vers \(\phi\) n'est donc pas uniforme sur [0, 1].
Sur [1, \(+\infty\) [ :
la suite (\(f_n\)) converge simplement sur [1, \(+\infty\) [ vers la fonction définie par \(\gamma(x)\) = 1 pour 1 < x et \(\gamma(1) = \frac{1}{2}\)
Or, toutes les fonctions \(f_n\) sont continues sur [1, \(+\infty\)[ et \(\gamma\) n'est pas continue en 1. La convergence de ( \(f_n\) ) vers \(\gamma\) n'est donc pas uniforme sur [1, \(+\infty\) [.
Sur [0 , a], 0 < a < 1 :
la suite (\(f_n\)) converge simplement sur [0, a] vers la fonction\( \tilde{0}\). Pour tout n \(\geqslant\) 1, la fonction \(f_n\) est strictement croissante sur [0, a], \(f_n(0) = 0\) et \(f_n(a) = \frac{a^n}{1 + a^n}\)
Donc \(sup_{x \in [0, a]} \Big \{ |f_n(x )- 0 | \Big \}= \frac{a^n}{1 + a^n}\), et on a, puisque 0 < a < 1, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } \frac{a^n}{1 + a^n} = 0\). La suite (\(f_n\)) converge donc uniformément vers \(\tilde{0}\) sur [0, a].
La suite (\(f_n\)) converge uniformément vers \(\tilde{0}\) sur [0 , a] (0 < a < 1).
Sur [b, \(+\infty\) [, 1 < b :
la suite (\(f_n\)) converge simplement sur [b, \(+\infty\) [ vers la fonction constante 1 (notée \(\tilde{1}\)). Pour tout n \(\geqslant\) 1, la fonction \(f_n - \tilde{1}\) est strictement croissante sur [b, \(+\infty\) [, \(( f_n -\tilde{1} )(b) = -\frac{1}{1 + b^n}\) et .
Donc \(\underset{x \in [0, a]}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 0 | \Big \}= \frac{a}{a + n}\), et on a, puisque 1 < b, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } \frac{1}{1 + b^n} = 0\). La suite (\(f_n\)) converge donc uniformément vers la fonction constante 1 sur [b, \(+\infty\) [.
La suite (\(f_n\)) converge uniformément sur [b, \(+\infty\) [ vers la fonction constante 1.