Séries de fonctions

La série $\left( \sum~\frac{1}{n^{a}} \right)$ converge si et seulement si $a > 1$.

Comme $n^{\ln{(x)}} = \frac{1}{n^{-\ln{(x)}}}$, la série $\Big( \sum n^{\ln{(x)}} \Big)$ converge si et seulement si $-\ln{(x)} > 1$ c'est-à-dire si et seulement si $0 < x < e^{-1}$.

La série $\Big( \sum u_{n} \Big)$ converge simplement sur $I = ]0, e^{-1}[$.

La fonction $x \longmapsto n^{\ln{(x)}}$ est croissante sur $I$ : $m_{n} = \underset{x \in I}{\textrm{sup}} \Big\{ |u_{n} (x) | \Big\} = n^{\ln{(e^{-1})}} = \frac{1}{n}$.

La série $\left( \sum m_{n} \right)$ est divergente, donc : la série $\Big( \sum u_{n} \Big)$ ne converge pas normalement sur $I$.

1. $m'_{n} = \underset{x \in ]0, a]}{\textrm{sup}}~\Big\{ |u_{n}(x)| \Big\} = n^{\ln{(a)}}$. Comme $a \in I$, la série $\Big( \sum n^{a} \Big)$ est convergente : la série $\Big( \sum u_{n} \Big)$ converge donc normalement sur $]0, a]$, elle converge donc uniformément sur $]0, a]$.

   La série $\Big( \sum u_{n} \Big)$ converge uniformément sur $]0, a]$.

2. D'après le théorème de limite et convergence uniforme :

   • $\underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~u_{n}(x) = 0 \qquad (n \geq 2)$

   • La série $\Big( \sum u_{n} \Big)$ converge uniformément sur $]0, a]$.

   alors, $u$ admet une limite en $0$ et on peut procéder à l'interversion de limites : $\underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~u_{n}(x) = \underset{n = 2}{\overset{+\infty}{\sum}}~0 = 0$.

   $\underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~u(x) = 0$.

Nous allons appliquer ce même théorème de limite et convergence uniforme pour montrer que la série ne converge pas uniformément sur $I$.

• $\underset{x \rightarrow e^{-1}}{\textrm{lim}}~u_{n}(x) = \frac{1}{n}$

• La série $\left( \sum \frac{1}{n} \right)$ diverge.

Donc, la série ne converge pas uniformément sur $]0, e^{-1}[$ (sinon, d'après le théorème de limite et convergence uniforme, si on note $\ell_{n} = \underset{x \rightarrow e^{-1}}{\textrm{lim}}~u_{n}(x)$, la série $\left( \sum n^{\ln{(x)}} \right)$ serait convergente).

Ainsi, la série $\Big( \sum~u_{n} \Big)$ ne converge pas uniformément sur $]0, e^{-1}[$.

$v$ prolonge $u$ par continuité en $0$ : $v(0) = \underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~u(x) = 0$ et de même $v_{n}$ prolonge $u_{n}$ par continuité en $0$, donc $v_{n}(0) = \underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~u_{n}(x) = 0 \qquad (7)$

Donc, $v(0) = \underset{n = 2}{\overset{+ \infty}{\sum}}~v_{n}(0)$, de plus $\Big( \sum u_{n} \Big)$ converge uniformément sur $]0, a]$, donc également $\Big( \sum v_{n} \Big) \qquad \qquad (8)$.

Soit $\epsilon > 0$ :

d'après (7) $(\exists n_{1}) \qquad (\forall n \geq n_{1}) \qquad \left| \underset{k \geq n+1}{\sum}~v_{k}(0) \right| < \epsilon$;

d'après (8) $(\exists n_{2}) \qquad (\forall n \geq n_{2})~~(\forall x \in ]0, a]) \qquad \left| \underset{k \geq n+1}{\sum} v_{n}(x) \right| < \epsilon$;

on en déduit alors que pour $N = \textrm{max}~\{ n_{1}, n_{2} \}$, on a : $(\forall n \geq N)~~\forall x \in [0, a] \qquad \left| \underset{k \geq n+1}{\sum} v_{n}(x) \right| < \epsilon$.

La série $\Big( \sum v_{n} \Big)$ converge uniformément sur $[0, a]$.

D'après le théorème de convergence uniforme et continuité :

• les fonctions $v_{n}$ sont continues sur $[0, e^{-1}[$;

• la série $\Big( \sum v_{n} \Big)$ converge uniformément sur tous les segments $[ \alpha, \beta ] \subset [0, e^{-1}[$,

  (en effet, d'après (5), la convergence est uniforme sur tous les intervalles de type $[0, a]$ avec $0 < a < e^{-1}$. Elle est donc uniforme sur les segments $[\alpha, \beta]$ avec $0 \leq \alpha < \beta < e^{-1}$).

La somme de la série est alors continue sur $[0, e^{-1}[$.

Les fonctions $v_{n}$ sont dérivables sur $]0, e^{-1}[$ : $v'_{n}(x) = \frac{\ln{(n)}}{x}~n^{\ln{(x)}}$.

De plus, $v_{n}$ est dérivable en $0$, car $\underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~\frac{v_{n}(x)}{x} = \underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~\frac{n^{\ln{(x)}}}{x} = \underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~ e^{\ln{(x)}~(\ln{(n)}-1)} = 0$, donc $v_{n}(0) = 0$.

Les fonctions $v_{n}$ sont dérivables sur $[0, e^{-1}]$.

Soit $a \in ]0, e^{-1}[$, montrons que la série $\Big( \sum v'_{n} \Big)$ converge uniformément sur $[0, a]$ : $v'_{n}(x) \leq \frac{\ln{(n)}}{a}~.~n^{a}$.

Or, la série de Bertrand $\left( \sum \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}(n)} \right)$ converge pour tout $\beta$ lorsque $\alpha > 1$.

On en déduit alors que la série $\left( \sum \frac{\ln{(n)}}{a}~.~n^{a} \right)$ converge.

On a majoré uniformément sur $[0, a]~|v_{n}(x)|$ par le terme général d'une série convergente, la série $\Big( \sum~v'_{n} \Big)$ converge donc uniformément sur $[0, a]$.

Cette série converge donc uniformément sur tout intervalle $[\alpha, \beta] \subset [0, e^{-1}[$ (idem qu'en (6)).

La fonction $v$ est donc dérivable sur $[0, e^{-1}]$ et l'on a ainsi : $v'(x) = \underset{n = 2}{\overset{+\infty}{\sum}}~\frac{\ln{(n)}}{x}~.~n^{\ln{(x)}}$