Séries de fonctions

La série \(\left( \sum~\frac{1}{n^{a}} \right)\) converge si et seulement si \(a > 1\).

Comme \(n^{\ln{(x)}} = \frac{1}{n^{-\ln{(x)}}}\), la série \(\Big( \sum n^{\ln{(x)}} \Big)\) converge si et seulement si \(-\ln{(x)} > 1\) c'est-à-dire si et seulement si \(0 < x < e^{-1}\).

La série \(\Big( \sum u_{n} \Big)\) converge simplement sur \(I = ]0, e^{-1}[\).

La fonction \(x \longmapsto n^{\ln{(x)}}\) est croissante sur \(I\) : \(m_{n} = \underset{x \in I}{\textrm{sup}} \Big\{ |u_{n} (x) | \Big\} = n^{\ln{(e^{-1})}} = \frac{1}{n}\).

La série \(\left( \sum m_{n} \right)\) est divergente, donc : la série \(\Big( \sum u_{n} \Big)\) ne converge pas normalement sur \(I\).

1. \(m'_{n} = \underset{x \in ]0, a]}{\textrm{sup}}~\Big\{ |u_{n}(x)| \Big\} = n^{\ln{(a)}}\). Comme \(a \in I\), la série \(\Big( \sum n^{a} \Big)\) est convergente : la série \(\Big( \sum u_{n} \Big)\) converge donc normalement sur \(]0, a]\), elle converge donc uniformément sur \(]0, a]\).

   La série \(\Big( \sum u_{n} \Big)\) converge uniformément sur \(]0, a]\).

2. D'après le théorème de limite et convergence uniforme :

   • \(\underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~u_{n}(x) = 0 \qquad (n \geq 2)\)

   • La série \(\Big( \sum u_{n} \Big)\) converge uniformément sur \(]0, a]\).

   alors, \(u\) admet une limite en \(0\) et on peut procéder à l'interversion de limites : \(\underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~u_{n}(x) = \underset{n = 2}{\overset{+\infty}{\sum}}~0 = 0\).

   \(\underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~u(x) = 0\).

Nous allons appliquer ce même théorème de limite et convergence uniforme pour montrer que la série ne converge pas uniformément sur \(I\).

• \(\underset{x \rightarrow e^{-1}}{\textrm{lim}}~u_{n}(x) = \frac{1}{n}\)

• La série \(\left( \sum \frac{1}{n} \right)\) diverge.

Donc, la série ne converge pas uniformément sur \(]0, e^{-1}[\) (sinon, d'après le théorème de limite et convergence uniforme, si on note \(\ell_{n} = \underset{x \rightarrow e^{-1}}{\textrm{lim}}~u_{n}(x)\), la série \(\left( \sum n^{\ln{(x)}} \right)\) serait convergente).

Ainsi, la série \(\Big( \sum~u_{n} \Big)\) ne converge pas uniformément sur \(]0, e^{-1}[\).

\(v\) prolonge \(u\) par continuité en \(0\) : \(v(0) = \underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~u(x) = 0\) et de même \(v_{n}\) prolonge \(u_{n}\) par continuité en \(0\), donc \(v_{n}(0) = \underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~u_{n}(x) = 0 \qquad (7)\)

Donc, \(v(0) = \underset{n = 2}{\overset{+ \infty}{\sum}}~v_{n}(0)\), de plus \(\Big( \sum u_{n} \Big)\) converge uniformément sur \(]0, a]\), donc également \(\Big( \sum v_{n} \Big) \qquad \qquad (8)\).

Soit \(\epsilon > 0\) :

d'après (7) \((\exists n_{1}) \qquad (\forall n \geq n_{1}) \qquad \left| \underset{k \geq n+1}{\sum}~v_{k}(0) \right| < \epsilon\);

d'après (8) \((\exists n_{2}) \qquad (\forall n \geq n_{2})~~(\forall x \in ]0, a]) \qquad \left| \underset{k \geq n+1}{\sum} v_{n}(x) \right| < \epsilon\);

on en déduit alors que pour \(N = \textrm{max}~\{ n_{1}, n_{2} \}\), on a : \((\forall n \geq N)~~\forall x \in [0, a] \qquad \left| \underset{k \geq n+1}{\sum} v_{n}(x) \right| < \epsilon\).

La série \(\Big( \sum v_{n} \Big)\) converge uniformément sur \([0, a]\).

D'après le théorème de convergence uniforme et continuité :

• les fonctions \(v_{n}\) sont continues sur \([0, e^{-1}[\);

• la série \(\Big( \sum v_{n} \Big)\) converge uniformément sur tous les segments \([ \alpha, \beta ] \subset [0, e^{-1}[\),

  (en effet, d'après (5), la convergence est uniforme sur tous les intervalles de type \([0, a]\) avec \(0 < a < e^{-1}\). Elle est donc uniforme sur les segments \([\alpha, \beta]\) avec \(0 \leq \alpha < \beta < e^{-1}\)).

La somme de la série est alors continue sur \([0, e^{-1}[\).

Les fonctions \(v_{n}\) sont dérivables sur \(]0, e^{-1}[\) : \(v'_{n}(x) = \frac{\ln{(n)}}{x}~n^{\ln{(x)}}\).

De plus, \(v_{n}\) est dérivable en \(0\), car \(\underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~\frac{v_{n}(x)}{x} = \underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~\frac{n^{\ln{(x)}}}{x} = \underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~ e^{\ln{(x)}~(\ln{(n)}-1)} = 0\), donc \(v_{n}(0) = 0\).

Les fonctions \(v_{n}\) sont dérivables sur \([0, e^{-1}]\).

Soit \(a \in ]0, e^{-1}[\), montrons que la série \(\Big( \sum v'_{n} \Big)\) converge uniformément sur \([0, a]\) : \(v'_{n}(x) \leq \frac{\ln{(n)}}{a}~.~n^{a}\).

Or, la série de Bertrand \(\left( \sum \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}(n)} \right)\) converge pour tout \(\beta\) lorsque \(\alpha > 1\).

On en déduit alors que la série \(\left( \sum \frac{\ln{(n)}}{a}~.~n^{a} \right)\) converge.

On a majoré uniformément sur \([0, a]~|v_{n}(x)|\) par le terme général d'une série convergente, la série \(\Big( \sum~v'_{n} \Big)\) converge donc uniformément sur \([0, a]\).

Cette série converge donc uniformément sur tout intervalle \([\alpha, \beta] \subset [0, e^{-1}[\) (idem qu'en (6)).

La fonction \(v\) est donc dérivable sur \([0, e^{-1}]\) et l'on a ainsi : \(v'(x) = \underset{n = 2}{\overset{+\infty}{\sum}}~\frac{\ln{(n)}}{x}~.~n^{\ln{(x)}}\)