Séries de fonctions

Soit \(u_{n}(x) = \frac{x^{n} \sin{(nx)}}{n}\),

\(|u_{n}(x)| \leq \frac{|x|^{n}}{n}\).

D'après le critère de d'Alembert, la série de terme général converge pour tout \(x\) vérifiant \(0 \leq |x| < 1\).

La série \(\Big( \sum u_{n} \Big)\) est donc absolument convergente sur \(]-1,1[\).

Les fonctions \(u_{n}\) sont dérivables sur \(]-1, 1[\), la série \(\Big( \sum u_{n} \Big)\) converge sur \(]-1, 1[\).

Nous allons appliquer la forme locale du théorème de dérivabilité, en étudiant la convergence uniforme de la série \(\Big( \sum u'_{n} \Big)\) sur \([-a, a]\) avec \(0 < |a| < 1\).

\(u'_{n}(x) = x^{n-1} \sin{(nx)} + x^{n} \cos{(nx)}\).

\(|u'_{n}(x)| \leq |x|^{n-1} + |x|^{n} \leq 2 a^{n-1}\) puisque \(|x| \leq a\) et \(|x|^{n} \leq |x|^{n-1}\).

La série \(\Big( \sum~2a^{n-1} \Big)\) est une série convergente.

La série \(\Big( \sum~u'_{n} \Big)\) un est donc normalement convergente sur \([-a, a]\).

D'après la forme locale du théorème de dérivation, la somme \(f\) de la série \(\Big( \sum~u_{n}(x) \Big)\) est dérivable sur \(]-1, 1[\).

Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(]-1, 1[\).

D'après le théorème de dérivation : \(f'(x) = \overset{}{\underset{}{}}~\Big( x^{n-1}~\sin{(nx)} + x^{n}~\cos{(nx)}\Big)\).

On sait que la série complexe \(\left( \underset{n \geq 0}{\sum}~x^{n-1}~e^{i~nx}\right)\) est convergente sur \(]-1, 1[\) (en appliquant le critère de d'Alembert, ou en remarquant que d'après ce qui précède sa partie réelle et sa partie imaginaire sont convergentes).

Cette série est une série géométrique de premier terme \(e^{ix}\) et de raison \(xe^{ix}\).

Sa somme est donc : \(F(x) = \frac{e^{ix}}{1 - xe^{ix}}\).

On en déduit que \(\begin{array}{r c l} \overset{+\infty}{\underset{n=1}{\sum}}~x^{n-1}~\sin{(nx)} & = & \textrm{Im}~(F(x)) \\ \\ & = & \textrm{Im}~\left( \frac{e^{ix}}{1 - xe^{ix}}\right) \\ \\ & = & \textrm{Im}~\left( \frac{e^{ix}~(1-xe^{-ix})}{|1 - xe{ix}|^{2}} \right) \\ \\& = & \frac{\sin{(x)}}{|1 - e^{ix}|^{2}} \end{array}\) ;

et \(\begin{array}{r c l} \overset{+\infty}{\underset{n=1}{\sum}}~x^{n}~\cos{(nx)} & = & \textrm{Re}~(xF(x)) \\ \\ & = & \textrm{Re}~\left( \frac{xe^{ix}}{1 - xe^{ix}}\right) \\ \\ & = & \textrm{Re}~\left( \frac{xe^{ix}~(1-xe^{-ix})}{|1 - e{ix}|^{2}} \right) \\ \\& = & \frac{x \cos{(x)} - x^{2}}{|1 - e^{ix}|^{2}} \end{array}\).

On en déduit que : \(f'(x) = \frac{\sin{(x)} + x \cos{(x)} -x^{2}}{(1-x \cos{(x)})^{2} + (x \sin{(x)})^{2}}\).

Vérifions que \(f\) a bien l'expression annoncée.

Soit \(g\) la fonction définie sur \(]-1, 1[\) par \(g(x) = \textrm{Arctan}~\left( \frac{x~\sin{(x)}}{1 - x~\cos{(x)}} \right)\) (\(g\) est bien définie sur \(]-1, 1[\), car \(g(0) \neq 0\) et si \(x \neq 0\), \(\cos{(x)} \neq \frac{1}{x}\) car \(\cos{(x)} < 1 < \frac{1}{x}\).

Si \(g(0) = f(0)\) et \(g'(x) = f'(x)\) sur \(]-1, 1[\), alors \(g = f\).

\(g(0) = \textrm{Arctan}(0) = 0\) et \(f(0) = \overset{+\infty}{\underset{n=1}{\sum}}~u_{n}(0) = \overset{+\infty}{\underset{n=1}{\sum}}~0 = 0\) ; donc \(g(0) = f (0)\).

\(g'(x) = \frac{\sin{(x)} + x \cos{(x)} -x^{2}(\cos^{2}{(x)} + \sin^{2}{(x)}}{(1 - x \cos{(x)})^{2}}~.~\frac{1}{\frac{(1 - \cos{(x)})^{2} + (x \sin{(x)})^{2}}{(1 - x \cos{(x)})^{2}}}\),

donc \(g'(x) = \frac{\sin{(x)} + x\cos{(x)} - x^{2}}{(1 - x \cos{(x)})^{2} + (x \sin{(x)})^{2}} = f'(x)\).

On a donc bien \(f(x) = g(x) = \textrm{Arctan}~\left( \frac{x \sin{(x)}}{1 - x \cos{(x)}} \right)\).

Ainsi, \(f(x) = \textrm{Arctan}~\left( \frac{x \sin{(x)}}{1 - x \cos{(x)}} \right)\).

Étudions la convergence uniforme de la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum}~u_{n} \right)\) en utilisant le critère d'Abel uniforme.

En effet, la suite \(\left( \frac{x^{n}}{n} \right)\) est une suite décroissante de fonctions qui convergent uniformément vers \(0\) sur \([-1, 1]\) puisque \(\frac{|x^{n}|}{n} \leq \frac{1}{n}\).

De plus, les sommes \(\underset{k = 1}{\overset{n}{\sum}}~\sin{(kx)}\) sont uniformément bornées sur tout segment ne contenant pas un multiple de \(2\pi\) (voir cours), en particulier sur \(\left[\frac{1}{2}, 1\right]\) et \(\left[-1, -\frac{1}{2}\right]\).

D'après le critère d'Abel uniforme, la série converge uniformément sur \(\left[\frac{1}{2}, 1\right]\) et \(\left[-1, -\frac{1}{2}\right]\).

Donc, \(f(1) = \overset{+\infty}{\underset{n=1}{\sum}}~u_{n}(1) = \overset{+\infty}{\underset{n=1}{\sum}}~\frac{\sin{(n)}}{n}\).

D'autre part, grâce à la question précédente, on a

\(\begin{array}{r c l }f(1) & = & \textrm{Arctan}~\left( \frac{\sin{(1)}}{1 - \cos{(1)}} \right) \\ & = & \textrm{Arctan}~\left( \frac{2 \sin{\left( \frac{1}{2} \right)} \cos{\left( \frac{1}{2} \right)}}{2 \sin^{2}{(\frac{1}{2})}} \right) \\ & = & \textrm{Arctan}~\left( \frac{\cos{\left( \frac{1}{2} \right)}}{\sin{\left( \frac{1}{2} \right) }} \right) \\ & = & \textrm{Arctan}~\left( \frac{1}{\tan{\left( \frac{1}{2}\right)}} \right) \\ & = & \frac{\pi}{2} - \textrm{Arctan}~\left( \tan{\left( \frac{1}{2} \right) } \right) \\ & = & \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \\ & = & \frac{\pi - 1}{2} \end{array}\)

\(\overset{+\infty}{\underset{p=1}{\sum}}~\frac{\sin{(p)}}{p} = \frac{\pi - 1}{2}\).

De même, on a \(f(-1) = \overset{+\infty}{\underset{n = 1}{\sum}}~u_{n}(-1) = \overset{+\infty}{\underset{n=1}{\sum}}~\frac{(-1)^{n}\sin{(-n)}}{n}\).

D'autre part, grâce à la question précédente, on a :

\(\begin{array}{r c l }f(-1) & = & \textrm{Arctan}~\left( \frac{-\sin{(-1)}}{1 + \cos{(-1)}} \right) \\ & = & \textrm{Arctan}~\left( \frac{\sin{(1)}}{1 + \cos{(1)}} \right) \\ & = & \textrm{Arctan}~\left( \frac{2 \sin{\left( \frac{1}{2} \right)} \cos{\left( \frac{1}{2}\right)}}{2 \cos^{2}{\left( \frac{1}{2} \right) }} \right) \\ & = & \textrm{Arctan}~\left( \frac{\sin{\left(\frac{1}{2}\right)}}{\cos{\left( \frac{1}{2}\right)}} \right) \\ & = & \textrm{Arctan}~\left( \tan{\left( \frac{1}{2} \right) } \right) \\ & = & \frac{1}{2} \end{array}\)

\(\overset{+\infty}{\underset{p=1}{\sum}}~(-1)^{p}~\frac{\sin{(p)}}{p} = -\frac{1}{2}\).