Séries de fonctions

La fonction \(S\) est définie sur \(\mathbb{R}\) car la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum}~f_{n}(x) \right)\) converge simplement sur \(\mathbb{R}\).

En effet, on a \(\left| \textrm{Arctan}~(x) \right| \leq \frac{\pi}{2}\), donc \(|f_{n}(x)| \leq \frac{\pi}{2n^{2}}\).

La série de terme général \(\frac{\pi}{2n^{2}}\) est convergente, d'où la convergence de la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum}~f_{n}(x)\right)\) pour tout réel \(x\).

De plus cette majoration prouve que la série converge normalement sur \(\mathbb{R}\), elle converge donc en particulier uniformément sur \(\mathbb{R}\).

D'après le théorème de continuité :

• les fonctions \(f_{n}\) sont continues sur \(\mathbb{R}\),

• la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum}~f_{n}(x) \right)\) converge uniformément sur \(\mathbb{R}\).

La somme \(S\) est donc une fonction continue sur \(\mathbb{R}\).

Ainsi, \(S\) est une fonction continue sur \(\mathbb{R}\).

Les fonctions \(f_{n}\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) : \(f'_{n}(x) = \frac{1}{n ( 1+n^{2}x^{2})}\).

Pour établir la dérivabilité de \(S\) sur \(\mathbb{R}^{*}\), on peut essayer d'appliquer un théorème du cours.

Si on veut procéder directement sur \(\mathbb{R}^{*}\), il nous faut disposer d'un résultat de convergence uniforme sur \(\mathbb{R}^{*}\).

On cherche souvent à déduire la convergence uniforme d'un résultat de convergence normale.

Or, \(\underset{x \in \mathbb{R}^{*}}{\textrm{sup}}~|f'_{n}(x)| = \frac{1}{n}\), la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum}~\frac{1}{n}\right)\) diverge, donc la série des dérivées ne converge pas normalement sur \(\mathbb{R}^{*}\).

On va donc se rabattre sur la version locale du théorème de dérivation, pour laquelle il suffit de disposer d'un résultat de convergence uniforme sur un intervalle \([a, b]\) de \(\mathbb{R}^{*}\).

Sur \([a, b] \subset~]0, +\infty[ :~~0 \leq f'_{n}(x) \leq \frac{1}{b(1 + n^{2}b^{2})} \sim \frac{1}{n^{3}b^{2}}\).

La série \(\left( \sum~\frac{1}{n^{3}~b^{2}} \right)\) est une série de Riemann convergente, la série \(\Big( \sum~f_{n} \Big)\) converge donc normalement donc uniformément sur \([a,b]\).

Les fonctions \(f_{n}\) sont dérivables sur \(]0, +\infty[\), la série \(\Big( \sum~f_{n} \Big)\) converge simplement sur \(]0, +\infty[\), la série \(\Big( \sum~f'_{n} \Big)\) converge uniformément sur tout intervalle \([a, b]\) de \(]0, +\infty[\) : la fonction somme \(S\) est donc dérivable sur \(]0, +\infty[\) et \(S'(x) = \underset{n = 0}{\overset{+\infty}{\sum}}~\frac{n}{(1 + n^{2}x^{2})}\)

Ainsi, la fonction somme \(S\) est donc dérivable sur \(]0, +\infty[\) et \(S'(x) = \underset{n = 0}{\overset{+\infty}{\sum}}~\frac{n}{(1 + n^{2}x^{2})}\).

\(S\) est donc dérivable sur \(]0, +\infty[\) et \(S'(x) = \underset{n = 0}{\overset{+\infty}{\sum}}~\frac{n}{(1 + n^{2}x^{2})}\).