Exercice 31
Partie
Soient \(a < 0 < b\) deux réels, \(M\) un réel positif et \(f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) continue telle que : \((\forall x \in [a, b] \qquad |f (x)| \leq M|x|\).
Soit \(n \in \mathbb{N}\), on pose pour \(n \in \mathbb{N}\), \(f_{n}(x) = f \left( \frac{x}{2^{n}} \right)\).
Question
Étudier la série d'applications \(\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum} f_{n} \right)\).
Solution détaillée
Étudions la convergence de la série \(\Big( \sum f_{n} \Big)\).
\((\forall x \in [a, b]) \qquad |f_{n}(x)| = \left| f \left( \frac{x}{2^{n}} \right) \right| \leq M . \frac{c}{2^{n}}\) en posant \(c = \textrm{max} \Big\{ |a|, |b| \Big\}\).
La série géométrique de raison \(\frac{1}{2}\) est convergente, la série \(\Big( \sum~f_{n} \Big)\) est donc normalement convergente sur \([a, b]\).
La série \(\Big( \sum f_{n} \Big)\) est normalement convergente sur \([a,b]\).
Question
Montrer que la somme est continue sur \([a, b]\).
Solution détaillée
La fonction \(f\) est continue sur \([a, b]\), les fonctions \(f_{n}\) sont donc également continues sur \([a, b]\).
Les fonctions \(f_{n}\) sont continues sur \([a, b]\) et la série converge normalement, donc uniformément sur \([a, b]\), donc d'après le théorème de convergence uniforme et continuité, la somme de la série est continue sur \([a, b]\).
La somme de la série est continue sur \([a, b]\).