Séries de fonctions

La série de terme général \(u_{n}(x)\) est une série alternée car \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall x > - 1 \qquad n + x > 0\).

La suite \(\left( \frac{1}{n + x} \right)_{n \in \mathbb{R}}\) décroît vers \(0\), donc la série alternée converge d'après le critère de convergence de certaines séries alternées.

On a donc \(f(x) = \underset{n = 1}{\overset{+\infty}{\sum}}~\frac{(-1)^{n-1}}{n + x}\).

\(f(x) = \overset{+\infty}{\underset{n = 1}{\sum}}~\frac{(-1)^{n-1}}{n + x}\)

Soit \(0 \leq t < 1, \frac{1}{1+t} = \underset{n = 0}{\overset{+\infty}{\sum}}~(-1)^{n}~t^{n}\),

\(\overset{1}{\underset{0}{\int}}~\frac{t^{x}}{1 + t}~\textrm{dt} = \overset{1}{\underset{0}{\int}}~t^{x}~.~\left( \overset{+\infty}{\underset{n = 0}{\sum}}~(-1)^{n}t^{n} \right)~\textrm{dt} = \overset{1}{\underset{0}{\int}}~(-1)^{n}~\left( \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}}~t^{n+x}\right)~\textrm{dt}\).

La série \(\Big( \sum~(-1)^{n}t^{n} \Big)\) ne converge pas uniformément sur \([0, 1]\) (elle ne converge pas pour \(t = 1\)), ni même sur \([0, 1[\) car s'il y avait convergence uniforme sur \([0, 1[\), chacun des termes ayant une limite lorsque \(t\) tend vers \(1\), la série serait convergente en \(1\).

On ne dispose donc pas d'argument pour intervertir directement le signe somme et le symbole intégrale.

Soit \(\alpha \in ]0, 1[\) : la série géométrique \(\Big( \sum~(-t)^{n} \Big)\) converge uniformément sur \([0, \alpha]\), donc sur \([0, \alpha]\) on peut intervertir le signe somme et le symbole intégrale :

\(\begin{array}{r c l} \overset{\alpha}{\underset{0}{\int}} \frac{t^{x}}{1 + t}~\textrm{dt} & = & \overset{\alpha}{\underset{0}{\int}}~\left[ \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}}~(-1)^{n}~t^{n+x}=\right]~\textrm{dt} \\ \\ & = & \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}}~\overset{a}{\underset{0}{\int}}~(-t)^{n+x}~\textrm{dt} \\ \\ & = & \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}}~\frac{(-1)^{n}~\alpha^{n+x+1}}{n + x + 1} \\ \\ & = & \overset{+\infty}{\underset{n=1}{\sum}}~\frac{(-1)^{n-1}~\alpha^{n+x}}{n + x} \end{array}\)

Soit \(x \geq 0\). Introduisons la fonction \(\Phi_{x}\) définie sur \([0, 1]\) par : \(\Phi_{x} (\alpha) = \overset{\alpha}{\underset{0}{\int}}~\frac{t^{x}}{1 + t}~\textrm{dt}\).

• Pour tout \(\alpha \in ]0, 1[\), \(\Phi_{x}(\alpha) = \overset{+\infty}{\underset{n = 1}{\sum}}~\frac{(-1)^{n-1}~\alpha^{n + x}}{n + x}\),

• Pour tout \(\alpha \in ]0, 1[\), notons \(\Phi_{n, x}(\alpha) = \frac{(-1)^{n-1}~\alpha^{n + x}}{n + x}\), on a \(\Phi_{x}(\alpha) = \overset{+\infty}{\underset{n = 1}{\sum}}~\Phi_{n, x}(\alpha)\).

\(\Phi_{x}\) continue en \(1\), donc \(\underset{\alpha \rightarrow 1}{\textrm{lim}}~\Phi_{x}(\alpha) = \Phi_{x}(1) = \overset{1}{\underset{0}{\int}}~\frac{t}{1 + t}~\textrm{dt}\) soit \(\overset{1}{\underset{0}{\int}}~\frac{t}{1 + t}~\textrm{dt} = \underset{\alpha \rightarrow 1}{\textrm{lim}}~\overset{+\infty}{\underset{n = 1}{\sum}}~\frac{(-1)^{n-1} \alpha^{n+x}}{n+x}\).

Il nous reste à démontrer que \(\underset{\alpha \rightarrow 1}{\textrm{lim}}~\overset{+\infty}{\underset{n=1}{\sum}}~\frac{(-1)^{n-1} \alpha^{n+x}}{n + x}\), ou encore \(\underset{\alpha \rightarrow 1}{\textrm{lim}}~\Phi_{x}(\alpha) = \overset{+\infty}{\underset{n=1}{\sum}}~\underset{\alpha \rightarrow 1}{\textrm{lim}}~\Phi_{n, x}(\alpha)\).

C'est un problème d'interversion de limite et de signe somme. Cette interversion est possible si la série \(\left( \overset{+\infty}{\underset{n=1}{\sum}}~\frac{(-1)^{n-1} \alpha^{n+x}}{n + x} \right)\) converge uniformément pour \(\alpha \in [0, 1]\).

C'est une série alternée, la suite \(\left( \frac{\alpha^{n+x}}{n + x}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est une suite décroissante qui converge uniformément vers \(0\) pour \(\alpha \in [0, 1]\), puisque \(0 < \frac{\alpha^{n+x}}{n + x} < \frac{1}{n + x}\).

D'après le critère de convergence uniforme de certaines séries alternées, la série converge uniformément sur \([0, 1]\), on peut donc intervenir la limite et le signe somme.

D'où : \(\Phi_{x}(1) = \underset{\alpha \rightarrow 1}{\textrm{lim}}~\Phi_{x} (\alpha) = \overset{+\infty}{\underset{n = 1}{\sum}}~\underset{\alpha \rightarrow 1}{\textrm{lim}}~\Phi_{n, x} (\alpha) = \frac{(-1)^{n-1}}{n + x} = f(x)\).

Ainsi, \(f(x) = \overset{1}{\underset{0}{\int}}~\frac{t^{x}}{1 + t}~\textrm{dt}\) si \(x > -1\).