Notation vectorielle
Considérons un système de la forme \(x_i' = f_i(t, x_1, x_2, .. x_n) (i = 1, ..., n)\).
Notons \(X(t)\), ou simplement \(X\), le vecteur de Rn de coordonnées (\(x_1, x_2, .. x_n\)) (ces coordonnées dépendant de \(t\)) et \(X'\) le vecteur dérivé (\(x_1', x_2', ...,x_n'\)).
Le système peut alors s'écrire \(X' = F(t, X)\), où \(F\) est l'application de \(R \times R^n\) dans \(R^n\) qui, à \(t, x_1, x_2, ... ,x_n\) fait correspondre le vecteur
\(\displaystyle{\left[\begin{array}{ccc}f_1(t,x_1,...,x_n) \\ f_2(t,x_1,...,x_n) \\ \vdots \\ f_n(t,x_1,...,x_n)\end{array}\right.}\)
De façon générale, nous noterons les vecteurs et fonctions vectorielles par des lettres majuscules, les scalaires et fonctions scalaires par des minuscules. Une solution du système \(X' = F(t, X)\) est alors une fonction \(U(t)\) définie sur un intervalle \(I\) de \(R\), à valeurs dans \(R^n\), dérivable sur \(I\) (c'est-à-dire que chaque fonction coordonnée est dérivable sur \(I\) ) et vérifiant, pour tout \(t \in I, U'(t) = F(t, U(t)).\)
L'avantage de cette notation est qu'elle permet d'écrire un système de dimension \(n\) comme une simple équation différentielle dans \(R^n\).
Exemple : Exemple 1 :
Le système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=y \\ y'=-x\end{array}\right.}\)
est autonome. Il peut s'écrire \(X' = F(X)\) où \(F\) est l'application linéaire de \(R^2\) dans \(R^2\) représentée par la matrice
\(A = \displaystyle{\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\ -1 & 0\end{array}\right)}\)
On écrit plutôt ce système \(X' = AX\).
Exemple : Exemple 2 :
le système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=x^2-ty \\ y'=\textrm{sin}(xy)+t^2\end{array}\right.}\)
n'est pas autonome. Il peut s'écrire \(X' = F(t,X)\) où \(F\) est l'application de \(R \times R^2\) dans\(R^2\) définie par ses fonctions coordonnées
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}f_1(t,x,y) &=& x^2 - ty\\ f_2(t,x,y) & =&\sin(xy)+t^2\end{array}\right.}\)