Existence et unicité des solutions
Nous avons évoqué le fait qu'un système différentiel de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{cccc}x'_1 & = & f_1(t,x_1,...,x_n) \\ x'_2 & = & f_2(t,x_1,...,x_n) \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ x'_n & = & f_n(t,x_1,...,x_n)\end{array}\right.}\)
admet en général une infinité de solutions. Nous admettrons le théorème suivant, qui généralise le théorème analogue portant sur les équations différentielles.
Théorème : Théorème d'existence et d'unicité (Cauchy -Lipschitz)
Considérons un système différentiel
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{cccc}x'_1 & = & f_1(t,x_1,...,x_n) \\ x'_2 & = & f_2(t,x_1,...,x_n) \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ x'_n & = & f_n(t,x_1,...,x_n)\end{array}\right.}\)
dans lequel les fonctions \(f_i\) sont définies et continues sur un même domaine \(D\) de \(R \times R^n\) et possèdent des dérivées partielles par rapport aux \(x_i\) qui sont continues sur \(D\).
Alors, si l'on se donne des réels \(t_0\) et \(a_1, ..., a_n\), avec \((t_0, a_1, ... a_n)\) appartenant à \(D\), il existe une unique solution[1] \((u_1(t), ..., u_n(t))\) , définie sur un intervalle maximal \(I\) contenant \(t_0\), qui vérifie les conditions initiales \(u_1(t_0) = a_1, u_2(t_0) = a_2, ..., u_n(t_0) = a_n\).
Exemple :
Nous avons vu que les fonctions
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}u(t)=A\textrm{cos}t+B\textrm{sin}t \\ v(t)=-A\textrm{sin}t+B\textrm{cos}t\end{array}\right.}\)
sont solutions du système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=y \\ y'=-x\end{array}\right.}\)
Elles sont définies sur \(R\) tout entier.
On a toujours \(u(0)=A \textrm{ et } v(0)=B\).
La solution unique qui verifie \(u(0) = 5\) et \(v(0) = -3\) est donc
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll} u(t)=5\textrm{cos}t-3\textrm{sin}t \\ v(t)=-5\textrm{sin}t-3\textrm{cos}t\end{array}\right.}\)
Remarque :
Au début de ce chapitre, nous annoncions que les solutions d'un système de dimension \(n\) dépendent en général du choix de \(n\) constantes arbitraires : c'est bien le cas sous les hypothèses du théorème ci-dessus, ces \(n\) constantes correspondent en effet au choix des conditions initiales \(a_1, ..., a_n\).
Notation vectorielle
En notation vectorielle, le théorème ci-dessus s'exprime de façon plus compacte :
Théorème : Théorème d'existence et d'unicité (version vectorielle)
Soit un système \(X' = F(t, X)\), où \(F\) est continue sur un domaine \(D\) de \(R \times R^n\) et admet des dérivées partielles par rapport aux coordonnées \(x_i\) de \(X\) dans \(R^n\), qui sont continues sur \(D\). Alors, pour tout \(t_0\) et \(X_0\) tels que \((t_0, X_0)\) appartient à \(D\), il existe une solution maximale[2] unique \(U(t)\) vérifiant la condition initiale \(U(t_0) = X_0\).
Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, le système s'écrit
\(X' = \displaystyle{\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right)}X\)
La solution vérifiant \(U(0) = X_0 = \displaystyle{\left[\begin{array}{cc}5 \\ -3\end{array}\right]}\) s'écrit \(X(t) = \displaystyle{\left[\begin{array}{cc}5\textrm{cos}t-3\textrm{sin}t \\ -5\textrm{sin}t-3\textrm{cos}t\end{array}\right]}\)
Remarque :
Si l'on se donne un système différentiel quelconque, même de dimension 2, on a beau savoir, en appliquant le théoreme ci-dessus, qu'il possède des solutions, il est très rare que l'on sache donner des formules explicites pour ces solutions. Nous consacrerons le chapitre 2 aux systèmes linéaires à coefficients constants[3] : ce sont quasiment les seuls pour lesquels il existe des méthodes générales permettant d'expliciter les solutions.