Equations d'ordre supérieur à un et systèmes
Rappel : Equation différentielle d'ordre n
Rappelons qu'une équation différentielle d'ordre \(n\) est une équation faisant intervenir une fonction inconnue \(x(t)\) , ses dérivées jusqu'à l'ordre \(n\), et éventuellement la variable \(t\).
On note généralement \(x '\) et \(x ''\) les dérivées d'ordre 1 et 2, et \(x^{ ( i )}\) la dérivée d'ordre \(i\), si \(i > 2\).
Nous nous intéresserons aux équations qui peuvent s'écrire sous la forme
\(x^{(n)} = f(x,x',...,x^{(n-1)},t)\)
Démonstration : Equations du second ordre
Considérons une équation du second ordre \(x '' = f (x,x ',t )\).
Si on désigne \(x\) ' par la variable supplémentaire \(y\), alors \(x ''\) est la dérivée de \(y\) par rapport à \(t\), et l'équation du second ordre devient \(y ' = f (x,y,t )\).
Il faut lui rajouter l'information que \(x ' = y\).
On a ainsi transformé une équation du second ordre en un système de 2 équations du premier ordre :
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=y \\ y'=f(x,y,t)\end{array}\right.}\)
Exemple :
L'équation \(x'' = x' + t sin x\) se traduit par le système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=y \\ y'=y + t\textrm{sin}x\end{array}\right.}\)
Démonstration : Equations d'ondre n
En considérant les dérivées successives \(x',...,x^{(n-1)}\) comme de nouvelles fonctions inconnues notées \(x_1,...,x_{n-1}\), l'équation d'ordre n se traduit par le système différentiel
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ccc}x'& = & x_1 \\ \vdots & \vdots & \vdots\\ x'_{n-2} & = &x_{n-1} \\x'_{n-1} & =&f(x,x_1,...,x_{n-1},t)\end{array}\right.}\)
Ainsi, l'étude des systèmes différentiels recouvre celle des équations d'ordre supérieur à un.
Exemple :
L'équation du troisième ordre
\(x^{(3)}=3x" - x' + x - t^2\)
se traduit par le système différentiel
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x'= x_1 \\ x'_1=x_2 \\ x'_2=3x_2-x_1+x-t^2\end{array}\right.}\)
Il s'agit d'un système linéaire à coefficients constants avec second membre ; nous verrons comment résoudre de tels systèmes en utilisant des résultats d'algèbre linéaire.