Portrait de phase - Cas où la matrice A possède deux valeurs complexes imaginaires pures
Il s'agit d'étudier les trajectoires[1] du système \(X' = AX\), où la matrice \(A\) est de dimension 2 et admet deux valeurs propres complexes imaginaires pures \(\pm i \beta\)
Rappelons que les solutions du système sont des fonctions périodiques (de R dans \(R^2\)) de période \(2\pi/\beta\).
Les trajectoires sont donc des courbes fermées.
Nous admettrons le résultat plus précis suivant :
Les trajectoires sont des ellipses centrées à l'origine, parcourues périodiquement par les solutions.
On dit que l'origine est un centre.
Exemple :
Soit le système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=-x+3y \\ y'=-3x+y\end{array}\right.}\)
Le polynôme caractéristique est \(\lambda^2+8\), ses racines sont imaginaires pures conjuguées, donc l'origine est un centre.
La direction du champ sur l'axe des x nous indique le sens de rotation : ici, le sens des aiguilles d'une montre.