Portraits de phase et points stationnaires

Soit toujours un système linéaire homogène du type \(X ' = A X\), où \(A\) est une matrice réelle (2, 2) et

Si \(A\) possède une valeur propre double λ, alors par une étude élémentaire des applications linéaires du plan on voit que deux cas seulement peuvent se produire :

• ou bien la matrice est diagonale, et s'écrit \(A = \displaystyle{\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{array}\right)} = \lambda I\) ( \(I\) est la matrice unité),

• ou bien \(A\) n'est pas diagonalisable, donc il n'existe qu' une seule direction de vecteur propre. Si on prend \(U\) un vecteur propre, on peut choisir un deuxième vecteur \(V\), indépendant de \(U\), de façon que dans la base \((U,V)\) le système s'écrive

Examinons les solutions et le portrait de phase du système dans chaque cas.

• Si \(A = \lambda I\), le système s'écrit tout simplement

Ses solutions sont de la forme \(x=Ce^{\lambda t},y=De^{\lambda t}\). Le rapport \(\frac{y}{x}\) est alors constant, ainsi que le signe de \(x\) et de \(y\). Il en résulte que chaque trajectoire est contenue dans une demi-droite d'origine \(O\).

On voit facilement que, sauf si \(C = D = 0\), les trajectoires parcourent entièrement cette demi-droite, depuis \(O\) (exclus) vers l'infini si λ est positif, et dans le sens inverse s'il est négatif.

• Si A n'est pas diagonalisable, résolvons le système dans la base (U, V ) :

\(v^l=\lambda v\) a pour solutions \(v=Ce^{\lambda t}\)

En reportant dans \(u'=\lambda u+v\), on obtient \(u'=\lambda u+Ce^{\lambda t}\), dont les solutions sont \(u=(Ct+D)e^{\lambda t}\)

L'origine est un point stationnaire attractif si la valeur propre est négative, répulsif si elle est positive.

Si on suppose par exemple \(\lambda > 0\), les solutions se comportent comme suit :

• si \(C = D = 0\), on obtient la solution stationnaire restant à l'origine.

• si \(C = 0\) et \(D\) non nul, la trajectoire est une demi-droite colinéaire à \(U\).

• si \(C\) n'est pas nul, la solution part de l'origine tangentiellement à \(U\) ( pour \(t \rightarrow - \infty\)) puis tourne, pour finir en une branche parabolique, de direction asymptotique parallèle à U, mais opposée à la direction de départ.

Le dessin ci-dessous éclairera sans doute cette description un peu obscure ! Il représente le portrait de phase du système