Portraits de phase et points stationnaires

Soit toujours un système linéaire homogène du type $X ' = A X$, où $A$ est une matrice réelle (2, 2) et

Si $A$ possède une valeur propre double λ, alors par une étude élémentaire des applications linéaires du plan on voit que deux cas seulement peuvent se produire :

• ou bien la matrice est diagonale, et s'écrit $A = \displaystyle{\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{array}\right)} = \lambda I$ ( $I$ est la matrice unité),

• ou bien $A$ n'est pas diagonalisable, donc il n'existe qu' une seule direction de vecteur propre. Si on prend $U$ un vecteur propre, on peut choisir un deuxième vecteur $V$, indépendant de $U$, de façon que dans la base $(U,V)$ le système s'écrive

Examinons les solutions et le portrait de phase du système dans chaque cas.

• Si $A = \lambda I$, le système s'écrit tout simplement

Ses solutions sont de la forme $x=Ce^{\lambda t},y=De^{\lambda t}$. Le rapport $\frac{y}{x}$ est alors constant, ainsi que le signe de $x$ et de $y$. Il en résulte que chaque trajectoire est contenue dans une demi-droite d'origine $O$.

On voit facilement que, sauf si $C = D = 0$, les trajectoires parcourent entièrement cette demi-droite, depuis $O$ (exclus) vers l'infini si λ est positif, et dans le sens inverse s'il est négatif.

• Si A n'est pas diagonalisable, résolvons le système dans la base (U, V ) :

$v^l=\lambda v$ a pour solutions $v=Ce^{\lambda t}$

En reportant dans $u'=\lambda u+v$, on obtient $u'=\lambda u+Ce^{\lambda t}$, dont les solutions sont $u=(Ct+D)e^{\lambda t}$

L'origine est un point stationnaire attractif si la valeur propre est négative, répulsif si elle est positive.

Si on suppose par exemple $\lambda > 0$, les solutions se comportent comme suit :

• si $C = D = 0$, on obtient la solution stationnaire restant à l'origine.

• si $C = 0$ et $D$ non nul, la trajectoire est une demi-droite colinéaire à $U$.

• si $C$ n'est pas nul, la solution part de l'origine tangentiellement à $U$ ( pour $t \rightarrow - \infty$) puis tourne, pour finir en une branche parabolique, de direction asymptotique parallèle à U, mais opposée à la direction de départ.

Le dessin ci-dessous éclairera sans doute cette description un peu obscure ! Il représente le portrait de phase du système